X tasodifiy o'zgaruvchisi nima deyiladi. tasodifiy o'zgaruvchilar. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni. Ehtimollik zichligi

TASOSODIY QIYMATLAR

Ehtimollar nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri (tasodifiy hodisa va ehtimollik bilan birga) tasodifiy miqdor tushunchasidir.

Ta'rif. Tasodifiy o'zgaruvchi deganda men tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qiladigan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan o'zgaruvchini tushunaman.

Tasodifiy o'zgaruvchilar (qisqartirilgan r.v.) bosh lotin harflari bilan belgilanadi. X, Y, Z,… (yoki kichik yunon harflari x (xi), h (eta), q (teta), y (psi) va boshqalar) va ularning mos keladigan kichik harflardagi mumkin bo'lgan qiymatlari X,da,z.

r.v.ga misollar. quyidagicha xizmat qilishi mumkin: 1) yuzta yangi tug'ilgan chaqaloq orasida tug'ilgan o'g'il bolalar soni tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: 0, 1, 2, ..., 100;

2) quroldan otilganda snaryad uchadigan masofa tasodifiy miqdordir. Haqiqatan ham, masofa nafaqat ko'rishni o'rnatishga, balki to'liq hisobga olinmaydigan ko'plab boshqa omillarga (shamolning kuchi va yo'nalishi, harorat va boshqalar) bog'liq. Ushbu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalga tegishli ( a, b).

3) X- zar otishda paydo bo'ladigan ochkolar soni;

4) Y- nishonga birinchi zarba berishdan oldin o'qlar soni;

5) Z- qurilmaning ish vaqti va boshqalar. (odamning balandligi, dollar kursi, partiyadagi nuqsonli qismlar soni, havo harorati, o'yinchining to'lovlari, agar u tasodifiy tanlangan bo'lsa, nuqta koordinatasi, kompaniyaning foydasi, ...).

Birinchi misolda tasodifiy o'zgaruvchi X quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2, . . ., 100. Bu qiymatlar bir-biridan mumkin bo'lgan qiymatlar bo'lmagan bo'shliqlar bilan ajratilgan. X. Shunday qilib, ushbu misolda tasodifiy o'zgaruvchi alohida, izolyatsiya qilingan mumkin bo'lgan qiymatlarni oladi. Ikkinchi misolda tasodifiy o'zgaruvchi har qanday interval qiymatlarini olishi mumkin ( a, b). Bu erda bitta mumkin bo'lgan qiymatni boshqasidan tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lmagan bo'shliq bilan ajratish mumkin emas.

Yuqorida aytilganlardan xulosa qilishimiz mumkinki, faqat alohida, ajratilgan qiymatlarni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar va mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir bo'shliqni to'liq to'ldiradigan tasodifiy o'zgaruvchilarni ajratish maqsadga muvofiqdir.

Ta'rif. Diskret(uzluksiz) tasodifiy o'zgaruvchi (qisqartirilgan d.r.v.) bo'lib, u ma'lum bir ehtimollik bilan alohida, sanaladigan mumkin bo'lgan qiymatlarni oladi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Ta'rif. Agar r.v ning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami bo'lsa. sanab bo'lmaydigan, keyin bunday miqdor deyiladi davomiy(qisqartirilgan n.s.v.). Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir chekli yoki cheksiz oraliqdan barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.



tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y(3 va 4-misollar) diskretdir. S.v. Z(5-misol) uzluksiz: uning mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli.

Ta'rif. matematik kutish Mumkin qiymatlari segmentga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi aniq integral deb ataladi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari butun sonlar o'qi bo'yicha hisobga olinsa, matematik taxmin quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Bunday holda, albatta, noto'g'ri integral yaqinlashadi deb taxmin qilinadi.

Ta'rif. dispersiya uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga uning og'ish kvadratining matematik kutilishi deyiladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasiga o'xshab, dispersiyani amaliy hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

Ta'rif. Standart og'ish U dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi.

Ta'rif. Moda Diskret tasodifiy miqdorning M0 qiymati uning eng ehtimolli qiymati deyiladi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun tartib - taqsimot zichligi maksimal bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati.

Diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot ko‘pburchagi yoki uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot egri chizig‘i ikki yoki undan ortiq maksimalga ega bo‘lsa, bunday taqsimot deyiladi. Ikki modal yoki Multimodal.

Agar taqsimot minimal bo'lsa, lekin maksimal bo'lmasa, u deyiladi Antimodal.

Ta'rif. median X tasodifiy o'zgaruvchining MD qiymati uning qiymati bo'lib, unga nisbatan tasodifiy o'zgaruvchining katta yoki kichik qiymatini olish ehtimoli teng.

Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.

E'tibor bering, agar taqsimot unimodal bo'lsa, rejim va median matematik kutish bilan mos keladi.

Ta'rif. Boshlanish momenti Buyurtma K X tasodifiy o'zgaruvchisi X qiymatining matematik taxminidir K.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun: .

.

Birinchi tartibning boshlang'ich momenti matematik kutishga teng.

Ta'rif. Markaziy daqiqa Buyurtma K X tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatning matematik kutilishi deb ataladi

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun: .

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun: .

Birinchi tartibli markaziy moment har doim nolga teng, ikkinchi tartibli markaziy moment esa dispersiyaga teng. Uchinchi tartibning markaziy momenti taqsimotning assimetriyasini tavsiflaydi.

Ta'rif. Uchinchi darajali markaziy momentning uchinchi darajali standart og'ishga nisbati deyiladi Asimmetriya koeffitsienti.

Ta'rif. Tarqatishning aniqligi va tekisligini tavsiflash uchun miqdor chaqiriladi kurtoz.

Ko'rib chiqilgan miqdorlarga qo'shimcha ravishda mutlaq momentlar ham qo'llaniladi:

Mutlaq boshlanish momenti: .

Mutlaq markaziy moment: .

Birinchi tartibning mutlaq markaziy momenti deyiladi O'rtacha arifmetik og'ish.

Misol. Yuqorida ko'rib chiqilgan misol uchun X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasini aniqlang.

Misol. Bir urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Undan besh marta ketma-ket to'p chiqariladi va har safar chiqarilgan to'p orqaga qaytariladi va to'plar aralashtiriladi. Chiqarilgan oq sharlar sonini tasodifiy X deb qabul qilib, bu miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing, uning matematik kutilishi va dispersiyasini aniqlang.

Har bir eksperimentdagi to'plar qaytarilgan va aralashganligi sababli, sinovlarni mustaqil deb hisoblash mumkin (oldingi tajriba natijasi boshqa tajribada hodisaning yuzaga kelishi yoki sodir bo'lmasligi ehtimoliga ta'sir qilmaydi).

Shunday qilib, har bir tajribada oq sharning paydo bo'lish ehtimoli doimiy va tengdir

Shunday qilib, ketma-ket beshta sinov natijasida oq to'p umuman ko'rinmasligi mumkin, bir marta, ikki marta, uch, to'rt yoki besh marta paydo bo'ladi.

Tarqatish qonunini tuzish uchun siz ushbu hodisalarning har birining ehtimolini topishingiz kerak.

1) Oq to'p umuman ko'rinmadi:

2) Oq shar bir marta paydo bo'ldi:

3) Oq to'p ikki marta paydo bo'ladi: .

4) Oq to'p uch marta paydo bo'ladi:

Yaxshi ishingizni bilimlar bazasiga yuborish oddiy. Quyidagi shakldan foydalaning

Talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘z o‘qishlarida va ishlarida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdor bo‘lishadi.

E'lon qilingan http://www.allbest.ru/

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar

Natijasi mos kelmaydigan tasodifiy hodisalardan biri bo'lgan ba'zi sinovlar o'tkazilsin (hodisalar soni chekli yoki sanab o'tilgan, ya'ni hodisalarni raqamlash mumkin). Har bir natijaga ma'lum bir haqiqiy raqam beriladi, ya'ni tasodifiy hodisalar to'plamida qiymatlari bo'lgan haqiqiy X funksiyasi beriladi. Bu X funksiyasi deyiladi diskret tasodifiy kattalik("Diskret" atamasi tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari uzluksiz funktsiyalardan farqli o'laroq bitta raqamlar bo'lganligi sababli ishlatiladi). Tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari tasodifiy hodisalarga qarab o'zgarganligi sababli, asosiy qiziqish tasodifiy o'zgaruvchining turli xil raqamli qiymatlarni olish ehtimolidir. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan har qanday munosabat. Tarqatish qonuni turli shakllarda bo'lishi mumkin. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimot qonuni sonlar juftligi to'plamidir (), bu erda tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va bu qiymatlarni olish ehtimoli: . Qayerda.

Juftlarni ba'zi koordinatalar tizimidagi nuqta sifatida ko'rish mumkin. Ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz taqsimot qonunining grafik tasvirini - taqsimot poligonini olamiz. Ko'pincha diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni juftliklar kiritilgan jadval shaklida yoziladi.

Misol. Tanga ikki marta aylantiriladi. Ushbu testda tushib qolgan "gerblar" sonining taqsimlanish qonunini tuzing.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan X - bu testdagi "gerb" soni. Shubhasiz, X uchta qiymatdan birini qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2. Tanganing bir otilishida “gerb” paydo bo‘lish ehtimoli p=0,5, “dumlar” esa q = 1 - p = 0,5. . Tasodifiy o'zgaruvchining sanab o'tilgan qiymatlarni olish ehtimolini Bernoulli formulasi yordamida topish mumkin:

X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini taqsimot jadvali shaklida yozamiz

Boshqaruv:

Turli masalalarni yechishda tez-tez uchraydigan diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimlashning ayrim qonunlari maxsus nomlar oldi: geometrik taqsimot, gipergeometrik taqsimot, binom taqsimoti, Puasson taqsimoti va boshqalar.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni F(x) taqsimot funktsiyasi yordamida aniqlanishi mumkin, bu X tasodifiy o'zgaruvchining ????x?: F(x) oralig'ida qiymatlarni olish ehtimoliga teng. = P(X

F(x) funksiya butun real o‘qda aniqlangan va quyidagi xususiyatlarga ega:

bir)? ? F(x)? bitta;

2) F(x) - kamaymaydigan funksiya;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) - F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kvadrat og'ishning taqsimot qonunini yozamiz:

Yechish: M(x) matematik kutilmasini toping:

M(x)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5

X 2 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz

M(x 2) matematik kutilmasini topamiz:

M(x 2)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,5

Kerakli dispersiya D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Dispersiya xususiyatlari

1. S doimiyning dispersiyasi nolga teng: D(C)=0

2. Dispersiya belgisidan doimiy koeffitsientni kvadratga ajratib olish mumkin. D(Cx)=C 2 D(x)

3. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)

4. Binom taqsimotining dispersiyasi sinovlar soni va bir sinovda hodisaning paydo bo‘lish va ro‘y bermaslik ehtimoli ko‘paytmasiga teng D(X)=npq.

Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini baholash uchun dispersiyadan tashqari, boshqa xususiyatlar ham xizmat qiladi. Ular orasida standart og'ish bor.

TA'RIF. X tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:

8-misol. X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot qonuni bilan berilgan

y(x) standart og‘ishini toping

Yechish: X matematik kutilmasini toping:

M(x)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4

X 2 matematik taxminni toping:

M(x 2)=2 2 *0,1+3 2 *0,4+10 2 *0,5=54

Farqni topamiz:

D (x) \u003d M (x 2) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13,04

Kerakli standart og'ish

y(X)=vD(X)=v13.04?3.61

Teorema. O'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning cheklangan soni yig'indisining standart og'ishi ushbu o'zgaruvchilarning kvadratik standart og'ishlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng:

tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi ehtimollik nazariyasi va uning qo'llanilishida asosiy hisoblanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar, masalan, zarni bir marta uloqtirishda tushgan ballar soni, ma'lum vaqt oralig'ida parchalangan radiy atomlari soni, ma'lum bir vaqt oralig'ida telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar soni, og'ish. to'g'ri tashkil etilgan texnologik jarayonga ega bo'lgan ma'lum bir o'lchamdagi detalning nominal qiymatidan va boshqalar.

Shunday qilib, tasodifiy kattalik O'zgaruvchi tajriba natijasida u yoki bu raqamli qiymatni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deb ataladi.

Quyida biz tasodifiy o'zgaruvchilarning ikki turini ko'rib chiqamiz -- diskret va uzluksiz.

1. Diskret tasodifiy miqdorlar

Tasodifiy o'zgaruvchini * ko'rib chiqing, uning mumkin bo'lgan qiymatlari chekli yoki cheksiz sonlar ketma-ketligini tashkil qiladi. x1 , x2 , . .., xn, . .. . Funktsiyaga ruxsat bering p(x), har bir nuqtada kimning qiymati x=xi(i=1,2,. ..) qiymatning qiymatni olish ehtimoliga teng xi.

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi diskret (interval). Funktsiya p(x) chaqirdi qonun tarqatish ehtimolliklar tasodifiy miqdorlar, yoki qisqacha, qonun tarqatish. Bu funksiya ketma-ketlikning nuqtalarida aniqlanadi x1 , x2 , . .., xn, . .. . Sinovlarning har birida tasodifiy o'zgaruvchi har doim o'z o'zgarishi sohasidan ma'lum bir qiymat oladi.

Misol1. Tasodifiy o'zgaruvchi - zarni bir marta uloqtirganda tushadigan ballar soni. Mumkin bo'lgan qiymatlar 1, 2, 3, 4, 5 va 6 raqamlari. Bundan tashqari, ushbu qiymatlardan birortasini olish ehtimoli bir xil va 1/6 ga teng. Tarqatish qonuni qanday bo'ladi? ( Yechim)

Misol2. Tasodifiy o'zgaruvchi hodisaning sodir bo'lish soni bo'lsin A bitta testda va P(A)=p. Mumkin qiymatlar to'plami 0 va 1 2 ta raqamdan iborat: =0 voqea bo'lsa A sodir bo'lmadi va =1 voqea bo'lsa A sodir bo'ldi. Shunday qilib,

Keling, ishlab chiqarilgan deb faraz qilaylik n mustaqil testlar, ularning har biri hodisaga olib kelishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin A. Voqea ehtimoli bo'lsin A har bir test uchun p A da n mustaqil testlar. Diapazon barcha butun sonlardan iborat 0 oldin n inklyuziv. Ehtimollar taqsimoti qonuni p(m) Bernulli formulasi (13") bilan aniqlanadi:

Bernulli formulasi bo'yicha ehtimollik taqsimoti qonuni ko'pincha deyiladi binom, chunki Pn(m) o'zida aks ettiradi m binomial kengayishning uchinchi hadi.

Tasodifiy o'zgaruvchi har qanday manfiy bo'lmagan butun qiymatni qabul qilsin va

qayerda musbat doimiy. Bunday holda, tasodifiy o'zgaruvchiga taqsimlangan deyiladi qonun Puasson, E'tibor bering, qachon k=0 qo'yish kerak 0!=1 .

Ma'lumki, katta raqamlar uchun n mustaqil test ehtimoli Pn(m) hujumkor m voqea vaqtlari A Bernulli formulasi bilan emas, balki Laplas formulasi bilan topish qulayroqdir [qarang. formula (15)]. Biroq, ikkinchisi past ehtimollik bilan katta xatolar beradi R hodisaning yuzaga kelishi LEKIN bitta testda. Bunday holda, ehtimollikni hisoblash uchun Pn(m) Puasson formulasidan foydalanish qulay, unda

Puasson formulasini sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan Bernoulli formulasining cheklovchi holati sifatida olish mumkin. n va ehtimollik nolga moyil bo'lgani uchun.

Misol3. Zavodga 1000 dona hajmdagi ehtiyot qismlar partiyasi keldi. Bir qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,001 ga teng. Kelgan qismlar orasida 5 ta nosoz qism bo'lish ehtimoli qanday? ( Yechim)

Puasson taqsimoti ko'pincha boshqa muammolarda ham uchraydi. Shunday qilib, masalan, agar telefon operatori o'rtacha hisobda qabul qilsa N chaqiradi, keyin, ko'rsatilgandek, ehtimollik P(k) u bir daqiqa ichida oladi k qo'ng'iroqlar, agar qo'ysak, Puasson formulasi bilan ifodalanadi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari cheklangan ketma-ketlikni hosil qilsa x1 , x2 , . .., xn, keyin tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni quyidagi jadval shaklida berilgan, unda

Qiymatlar

Ehtimollar p(xi)

Ushbu jadval deyiladi yonida tarqatish tasodifiy o'zgaruvchi. Vizual funktsiya p(x) grafik sifatida ko'rsatish mumkin. Buning uchun biz tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimini olamiz.

Gorizontal o'q bo'ylab tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini va vertikal o'q bo'ylab funktsiya qiymatlarini chizamiz. Funktsiya grafigi p(x) shaklda ko'rsatilgan. 2. Agar siz ushbu grafikning nuqtalarini to'g'ri chiziq bo'laklari bilan bog'lasangiz, siz nomli figurani olasiz poligon tarqatish.

Misol4. Tadbirga ruxsat bering LEKIN- zar otishda bir nuqtaning ko'rinishi; P(A)=1/6. Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing - hodisaning sodir bo'lish soni LEKIN o'nta zar bilan. Funktsiya qiymatlari p(x)(tarqatish qonuni) quyidagi jadvalda keltirilgan:

Qiymatlar

Ehtimollar p(xi)

Ehtimollar p (xi) uchun Bernulli formulasi bilan hisoblangan n=10. Uchun x>6 ular deyarli nolga teng. p(x) funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 3.

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi va uning xossalari

Funktsiyani ko'rib chiqing F(x), butun raqamli o'qda quyidagicha aniqlanadi: har biri uchun X ma'nosi F(x) diskret tasodifiy o'zgaruvchidan kichik qiymatni olish ehtimoliga teng X, ya'ni.

Bu funksiya deyiladi funktsiyasi tarqatish ehtimolliklar, yoki qisqacha, funktsiyasi tarqatish.

Misol1. 1-misolning 1-bandida keltirilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping. ( Yechim)

Misol2. 2-misol, 1-bandda keltirilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping. ( Yechim)

Tarqatish funksiyasini bilish F(x), tasodifiy o'zgaruvchining tengsizliklarni qondirish ehtimolini topish oson.

Tasodifiy o'zgaruvchidan kichik qiymatni qabul qilish hodisasini ko'rib chiqing. Ushbu hodisa ikkita mos kelmaydigan hodisaning yig'indisiga bo'linadi: 1) tasodifiy o'zgaruvchi kichikroq qiymatlarni oladi, ya'ni. ; 2) tasodifiy o'zgaruvchi tengsizliklarni qondiradigan qiymatlarni oladi. Qo'shish aksiomasidan foydalanib, biz olamiz

Ammo taqsimlash funktsiyasining ta'rifi bo'yicha F(x)[sm. formula (18)], bizda mavjud

shuning uchun,

Shunday qilib, ehtimollik xitlar diskret tasodifiy miqdorlar ichida interval ga teng oshirish funktsiyalari tarqatish ustida bu interval.

O'ylab ko'ringasosiyxususiyatlarifunktsiyalaritarqatish.

1°. Funktsiya tarqatish hisoblanadi kamaymaydigan.

Haqiqatan ham, ruxsat bering< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2°. Qiymatlar funktsiyalari tarqatish qondirish tengsizliklar .

Bu xususiyat shundan kelib chiqadi F(x) ehtimollik sifatida aniqlanadi [qarang. formula (18)]. Ma'lumki, * va.

3°. Ehtimollik Bormoq, nima diskret tasodifiy kattalik qabul qiladi bitta dan mumkin qiymatlar xi, ga teng chopish funktsiyalari tarqatish ichida nuqta xi.

Haqiqatan ham, ruxsat bering xi- diskret tasodifiy miqdor tomonidan qabul qilingan qiymat va. Formula (19) ni qabul qilib olamiz

Limitda, tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli o'rniga, biz qiymatning berilgan qiymatni olish ehtimolini olamiz. xi:

Boshqa tomondan, biz olamiz, ya'ni. funktsiya chegarasi F(x) to'g'ri, chunki. Shuning uchun chegara formulasida (20) shaklni oladi

bular. ma'nosi p (xi) funksiya sakrashiga teng ** xi. Ushbu xususiyat rasmda aniq ko'rsatilgan. 4 va rasm. 5.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar

Mumkin qiymatlari hech qanday intervalni to'liq to'ldirmaydigan sonli yoki cheksiz ketma-ketlikni tashkil etuvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga qo'shimcha ravishda, ko'pincha mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalni tashkil etuvchi tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud. To'g'ri tashkil etilgan texnologik jarayonga ega bo'lgan qismning ma'lum bir o'lchamining nominal qiymatidan chetlanishi bunday tasodifiy o'zgaruvchiga misol bo'ladi. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni ehtimollik taqsimoti qonuni yordamida aniqlab bo'lmaydi p(x). Biroq, ular ehtimollik taqsimoti funksiyasi yordamida aniqlanishi mumkin F(x). Bu funksiya diskret tasodifiy o'zgaruvchidagi kabi aniqlangan:

Shunday qilib, bu erda ham funktsiya F(x) butun son o'qi bo'yicha aniqlangan va uning nuqtadagi qiymati X tasodifiy o'zgaruvchining dan kichik qiymatga ega bo'lish ehtimoliga teng X.

Formula (19) va 1° va 2° xossalari har qanday tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi uchun amal qiladi. Isbotlash diskret kattalik holatiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi.

Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi davomiy, agar buning uchun har qanday qiymatlarni qanoatlantiradigan manfiy bo'lmagan bo'lak-uzluksiz funksiya* mavjud bo'lsa x tenglik

Funktsiya chaqiriladi zichlik tarqatish ehtimolliklar, yoki qisqacha, zichlik tarqatish. Agar a x 1 2 , keyin (20) va (22) formulalar asosida biz bor

Integralning maydon sifatidagi geometrik ma'nosiga asoslanib, tengsizliklarni bajarish ehtimoli asosi bo'lgan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng deb aytishimiz mumkin. yuqorida egri chiziq bilan chegaralangan (6-rasm).

Chunki, va formula (22) asosida

(22) formuladan foydalanib, taqsimot zichligini uzluksiz deb faraz qilib, o'zgaruvchan yuqori chegaraga nisbatan integralning hosilasi sifatida topamiz**:

E'tibor bering, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimot funktsiyasi F(x) har qanday nuqtada uzluksiz X, bu yerda funksiya uzluksiz. Bu shundan kelib chiqadi F(x) bu nuqtalarda farqlanadi.

(23) formulaga asoslanib, faraz qiling x 1 =x, bizda ... bor

Funksiyaning uzluksizligi tufayli F(x) buni tushunamiz

Natijada

Shunday qilib, ehtimollik Bormoq, nima davomiy tasodifiy kattalik balki qabul qilmoq har qanday alohida ma'nosi X, ga teng nol.

Bundan kelib chiqadiki, har bir tengsizlikning bajarilishidan iborat hodisalar

Ular bir xil ehtimolga ega, ya'ni.

Darhaqiqat, masalan,

Izoh. Bizga ma'lumki, agar biror hodisa imkonsiz bo'lsa, unda uning yuzaga kelish ehtimoli nolga teng. Imtihonning klassik ta'rifida, test natijalarining soni cheklangan bo'lsa, teskari taklif ham sodir bo'ladi: agar hodisaning ehtimoli nolga teng bo'lsa, u holda hodisa mumkin emas, chunki bu holda test natijalarining hech biri uni yoqtirmaydi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, uning mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir. Bu qiymat har qanday ma'lum qiymatni olish ehtimoli x 1 ko'rganimizdek, nolga teng. Biroq, bundan bu hodisa mumkin emas degan xulosa kelib chiqmaydi, chunki test natijasida tasodifiy o'zgaruvchi, xususan, qiymatni olishi mumkin. x 1 . Shuning uchun, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida, tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatni olish ehtimoli haqida emas, balki intervalga tushish ehtimoli haqida gapirish mantiqan.

Shunday qilib, masalan, rolik ishlab chiqarishda biz uning diametri nominal qiymatga teng bo'lish ehtimoli bilan qiziqmaymiz. Biz uchun rulonning diametri tolerantlikdan tashqariga chiqmasligi ehtimoli muhimdir.

Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi quyidagicha berilgan:

Funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 7. Tasodifiy miqdorning tengsizliklarni qanoatlantiradigan qiymat olishi ehtimolligini aniqlang Berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping. ( Yechim)

Keyingi ikkita paragraf amaliyotda tez-tez uchrab turadigan uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimlanishiga bag'ishlangan - bir xil va normal taqsimotlar.

* Agar funksiya har qanday segmentda uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lsa, u butun son o'qi bo'yicha bo'lakli uzluksiz deb ataladi.

** Chekli pastki chegara holatida olingan o‘zgaruvchan yuqori chegarali integralni differentsiallash qoidasi cheksiz pastki chegaraga ega bo‘lgan integrallar uchun amal qiladi. Haqiqatdan ham,

Integraldan boshlab

doimiy qiymatdir.

tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchilar ostida tasodifiy hodisalarning raqamli xususiyatlarini tushuning. Boshqacha qilib aytganda, tasodifiy o'zgaruvchilar - bu tajribalarning raqamli natijalari bo'lib, ularning qiymatlarini (ma'lum bir vaqtda) oldindan aytib bo'lmaydi.

Masalan, quyidagi miqdorlarni tasodifiy deb hisoblash mumkin:

2. Ma'lum bir tug'ruqxonada ma'lum bir kunda tug'ilgan bolalar orasida o'g'il bolalar ulushi.

3. Ma'lum bir kun davomida biron bir rasadxonada ko'rinadigan quyosh dog'lari soni va maydoni.

4. Ushbu ma'ruzaga kechikkan talabalar soni.

5. Birjadagi dollar kursi (aytaylik, MICXBda), garchi u aholi uchun ko'rinadigan darajada “tasodifiy” bo'lmasligi mumkin.

6. Muayyan korxonada ma'lum bir kunda uskunaning ishdan chiqishi soni.

Tegishli xarakteristikaning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami diskret yoki uzluksiz ekanligiga qarab, tasodifiy o'zgaruvchilar diskret va uzluksiz bo'linadi.

Ushbu bo'linish juda shartli, ammo u etarli tadqiqot usullarini tanlashda foydalidir. Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli bo'lsa yoki barcha natural sonlar to'plami bilan taqqoslansa (ya'ni, qayta raqamlanishi mumkin), u holda tasodifiy o'zgaruvchi PDF FinePrint pdfFactory sinov versiyasi http://www.fineprint bilan yaratilgan. com diskret deb ataladi. Aks holda, u uzluksiz deb ataladi, garchi aslida, xuddi bilvosita, aslida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar o'z qiymatlarini qandaydir oddiy raqamli intervalda (segment, interval) oladi deb taxmin qilinadi. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchilar diskret bo'ladi, yuqorida 4 va 6 raqamlari ostida va uzluksiz - 1 va 3 raqamlari ostida (spot maydonlar) berilgan. Ba'zan tasodifiy o'zgaruvchi aralash xarakterga ega. Bu, masalan, dollarning (yoki boshqa valyutaning) ayirboshlash kursi bo'lib, u aslida faqat diskret qiymatlar to'plamini oladi, ammo uning qiymatlari to'plami "uzluksiz" deb taxmin qilish qulay bo'lib chiqadi. ”.

Tasodifiy o'zgaruvchilar turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar odatda o'zlarining taqsimot qonuni bilan beriladi. Bu yerda X tasodifiy miqdorning har bir mumkin bo‘lgan x1, x2,... qiymati ushbu qiymatning p1,p2,... ehtimolligi bilan bog‘langan. Natijada ikkita qatordan iborat jadval paydo bo'ladi:

Bu tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunidir.

Tarqatish qonunlari bo'yicha uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni aniqlab bo'lmaydi, chunki ularning ta'rifiga ko'ra ularning qiymatlarini qayta raqamlash mumkin emas, shuning uchun bu erda jadval ko'rinishidagi tayinlash chiqarib tashlanadi. Biroq, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun belgilashning yana bir usuli mavjud (aytmoqchi, diskret o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi) - bu taqsimlash funktsiyasi:

hodisaning ehtimoliga teng bo'lib, X tasodifiy o'zgaruvchisi berilgan x sonidan kamroq qiymat olishidan iborat.

Ko'pincha taqsimlash funksiyasi o'rniga boshqa funktsiyadan foydalanish qulay - X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishining f(x) taqsimot zichligi. Uni ba'zan differensial taqsimot funktsiyasi deb ham atashadi va bu terminologiyada F (x) integral taqsimot funksiyasi deyiladi. Ushbu ikki funktsiya bir-birini quyidagi formulalar bilan aniqlaydi:

Agar tasodifiy o'zgaruvchi diskret bo'lsa, u holda taqsimot funktsiyasi tushunchasi ham ma'noga ega bo'ladi, bu holda taqsimot funktsiyasi grafigi gorizontal bo'limlardan iborat bo'lib, ularning har biri pi ga teng miqdorda oldingisidan yuqorida joylashgan.

Diskret miqdorlarning muhim misollari, masalan, binomial taqsimlangan miqdorlar (Bernulli taqsimoti), ular uchun PDF FinePrint pdfFactory sinov versiyasi bilan yaratilgan http://www.fineprint.com

pk(1-p)n-k= !()!

bu erda p - bitta hodisaning ehtimoli (u ba'zan shartli ravishda "muvaffaqiyat ehtimoli" deb ataladi). Bir qator ketma-ket bir jinsli sinovlar natijalari shunday taqsimlanadi (Bernulli sxemasi). Binomial taqsimotning cheklovchi holati (sinovlar soni ortib borishi bilan) Puasson taqsimoti bo'lib, u uchun

pk=?k/k! exp(-?),

qayerda?>0 ijobiy parametrdir.

Uzluksiz taqsimotning eng oddiy misoli bir xil taqsimotdir. U segmentda doimiy taqsimlanish zichligiga ega, 1 / (b-a) ga teng va bu segmentdan tashqarida zichlik 0 ga teng.

Uzluksiz taqsimotning o'ta muhim misoli normal taqsimotdir. U ikkita parametr bilan berilgan m va? (kutish va standart og'ish - pastga qarang), uning tarqalish zichligi shaklga ega:

1 ta tajriba(-(x-m)2/2?2)

Ehtimollar nazariyasida normal taqsimotning asosiy roli markaziy chegara teoremasi (CLT) tufayli juftlikdan mustaqil bo'lgan juda ko'p tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi ekanligi bilan izohlanadi (quyida "mustaqillik kontseptsiyasi" ga qarang). tasodifiy o'zgaruvchilar) yoki zaif bog'liqlik normal qonun bo'yicha taxminan taqsimlangan bo'lib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, tasodifiyligi bir-biriga zaif bog'liq bo'lgan ko'p sonli tasodifiy omillarning superpozitsiyasi natijasida yuzaga keladigan tasodifiy o'zgaruvchini taxminan normal taqsimlangan deb hisoblash mumkin (uni tashkil etuvchi omillar qanday taqsimlanganidan qat'i nazar). . Boshqacha qilib aytganda, normal taqsimot qonuni juda universaldir.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda foydalanish uchun qulay bo'lgan bir nechta raqamli xususiyatlar mavjud. Ularning orasida biz matematik kutishni ajratib turamiz

tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatiga teng, dispersiya

D(X)=M(X-M(X))2,

tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan og'ish kvadratining matematik kutilishiga teng va amalda qulay bo'lgan yana bir qo'shimcha qiymat (asl tasodifiy o'zgaruvchi bilan bir xil o'lchamdagi):

standart og'ish deb ataladi. Biz barcha yozma integrallar mavjud (ya'ni, butun haqiqiy o'q bo'ylab yaqinlashadi) deb faraz qilamiz (bundan keyin buni shart qilmasdan). Ma'lumki, dispersiya va standart og'ish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish darajasini tavsiflaydi. Dispersiya qanchalik kichik bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchilar klasterining qiymatlari uning o'rtacha qiymatiga yaqinroq bo'ladi.

Masalan, Puasson taqsimoti uchun o'rtacha ?, bir xil taqsimot uchun u (a+b)/2, normal taqsimot uchun esa m ga teng. Puasson taqsimoti uchun dispersiya ?, bir xil taqsimot uchun (b-a)2/12 va normal taqsimot uchun ?2 ga teng. Quyida matematik kutish va dispersiyaning quyidagi xususiyatlaridan foydalaniladi:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), bunda c ixtiyoriy doimiy son.

4. D(X+A)=D(A) ixtiyoriy doimiy (tasodifiy bo'lmagan) qiymat A uchun.

Tasodifiy miqdor?=U-MU markazlashtirilgan deb ataladi. 1-xususiyatdan kelib chiqadiki, M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, ya’ni uning o’rtacha qiymati 0 (bu yerda uning nomi). Bundan tashqari, 4-xususiyat tufayli bizda D(?)=D(U) mavjud.

Dispersiya va tegishli miqdorlarni hisoblash uchun amalda foydalanish uchun qulay bo'lgan foydali munosabat ham mavjud:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil deb ataladi, agar ularning ixtiyoriy qiymatlari uchun mos ravishda x va y hodisalari mustaqil bo'lsa. Misol uchun, elektr tarmog'idagi kuchlanishni o'lchash natijalari va korxonaning asosiy energetikining o'sishi mustaqil bo'ladi (ko'rinishidan ...). Ammo ushbu elektr tarmog'ining quvvati va korxonalardagi bosh energetikning maoshini endi har doim ham mustaqil deb hisoblash mumkin emas.

Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, u holda quyidagi xususiyatlar ham amal qiladi (ular ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qilmasligi mumkin):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

X,Y,... individual tasodifiy miqdorlar bilan bir qatorda tasodifiy miqdorlar tizimlari ham o‘rganiladi. Masalan, (X, Y) tasodifiy o'zgaruvchilar juftligini qiymatlari ikki o'lchovli vektor bo'lgan yangi tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Xuddi shunday, ko'p o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar deb ataladigan ko'proq tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlarini ko'rib chiqish mumkin. Bunday miqdorlar sistemalari ularning taqsimot funksiyasi orqali ham beriladi. Masalan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi uchun bu funktsiya shaklga ega

F(x,y)=P,

ya'ni X tasodifiy o'zgaruvchisi berilgan x sonidan kichik qiymat olishi va Y tasodifiy o'zgaruvchisi berilgan y sonidan kichik bo'lgan hodisaning ehtimoliga teng. Bu funktsiya X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning qo'shma taqsimot funksiyasi deb ham ataladi. Siz o'rtacha vektorni ham ko'rib chiqishingiz mumkin - matematik kutishning tabiiy analogi, ammo dispersiya o'rniga siz bir nechta raqamli xususiyatlarni o'rganishingiz kerak. ikkinchi tartib. Bular, birinchidan, FinePrint pdfFactory sinov versiyasida http://www.fineprint.com X va Y tasodifiy o'zgaruvchilari bilan yaratilgan ikkita qisman DX va DY PDF dispersiyalari, alohida ko'rib chiqiladi va ikkinchidan, kovariatsiya momenti quyida batafsilroq muhokama qilinadi. .

Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, u holda

F(x,y)=FX(x)FY(y)

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlash funktsiyalarining mahsuloti va shuning uchun mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar juftligini o'rganish ko'p jihatdan oddiygina X va Y ni alohida o'rganishga qisqartiriladi.

tasodifiy o'zgaruvchilar

Tajribalar yuqorida ko'rib chiqildi, natijalari tasodifiy hodisalardir. Biroq, ko'pincha tajriba natijalarini tasodifiy o'zgaruvchi deb ataladigan ma'lum miqdor shaklida miqdoriy jihatdan ifodalash zarurati tug'iladi. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik nazariyasining ikkinchi (tasodifiy hodisadan keyin) asosiy o'rganish ob'ekti bo'lib, tasodifiy hodisalar to'plamiga qaraganda tasodifiy natijaga ega bo'lgan tajribani tavsiflashning umumiy usulini ta'minlaydi.

Tasodifiy natijaga ega bo'lgan tajribalarni hisobga olsak, biz allaqachon tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanganmiz. Shunday qilib, bir qator sinovlardagi muvaffaqiyatlar soni tasodifiy o'zgaruvchiga misoldir. Tasodifiy o'zgaruvchilarga boshqa misollar: vaqt birligi uchun telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar soni; keyingi qo'ng'iroqni kutish vaqti; statistik fizikada ko'rib chiqiladigan zarralar sistemalarida berilgan energiyaga ega bo'lgan zarralar soni; ma'lum bir hududda o'rtacha kunlik harorat va boshqalar.

Tasodifiy o'zgaruvchi uning qiymatini aniq bashorat qilishning iloji yo'qligi bilan tavsiflanadi, lekin boshqa tomondan, uning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami odatda ma'lum. Shunday qilib, sinovlar ketma-ketligidagi muvaffaqiyatlar soni uchun bu to'plam cheklangan, chunki muvaffaqiyatlar soni qiymatlarni olishi mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari to'plami kutish vaqti kabi haqiqiy yarim o'q bilan mos kelishi mumkin.

Odatda tasodifiy hodisalar bilan tavsiflanadigan tasodifiy natijaga ega bo'lgan tajribalar misollarini ko'rib chiqamiz va tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish orqali ekvivalent tavsifni kiritamiz.

biri). Tajribaning natijasi voqea yoki hodisa bo'lsin. Keyin bu tajriba, masalan, ikkita qiymatni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'lanishi mumkin va ehtimolliklar va bundan tashqari, tengliklar sodir bo'ladi: va. Shunday qilib, tajriba ehtimollik bilan ikkita natija bilan tavsiflanadi va yoki bir xil tajriba ikkita qiymatni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchi bilan tavsiflanadi va ehtimollik va va.

2). Zar otish bilan tajribani ko'rib chiqing. Bu erda tajriba natijasi voqealardan biri bo'lishi mumkin, bu erda raqam bilan yuzning yo'qolishi. ehtimolliklar. Keling, ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qila oladigan tasodifiy o'zgaruvchidan foydalangan holda ushbu tajribaning ekvivalent tavsifini kiritaylik.

3). Mustaqil testlar ketma-ketligi mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhi bilan tavsiflanadi, bu erda bir qator tajribalarda muvaffaqiyatning ko'rinishidan iborat hodisa; bundan tashqari, hodisaning ehtimoli Bernulli formulasi bilan belgilanadi, ya'ni bu erda tasodifiy o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin - ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qiladigan muvaffaqiyatlar sonini. Shunday qilib, mustaqil sinovlar ketma-ketligi tasodifiy hodisalar bilan ularning ehtimolliklari yoki qiymatlarni qabul qilish ehtimoli bilan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan tavsiflanadi.

to'rtta). Biroq, tasodifiy natijaga ega bo'lgan har qanday tajriba uchun tasodifiy o'zgaruvchi va tasodifiy hodisalar to'plami o'rtasida bunday oddiy yozishmalar mavjud emas. Misol uchun, nuqta tasodifiy chiziqqa tashlangan tajribani ko'rib chiqing. Bu erda tasodifiy o'zgaruvchini kiritish tabiiydir - nuqta tushadigan segmentdagi koordinata. Shunday qilib, biz tasodifiy hodisa haqida gapirishimiz mumkin, bu erda soni. Biroq, bu hodisaning ehtimoli. Siz boshqacha qilishingiz mumkin - segmentni cheklangan miqdordagi kesishmaydigan segmentlarga bo'ling va tasodifiy hodisalarni ko'rib chiqing, shundan iboratki, tasodifiy o'zgaruvchi oraliqdan qiymatlarni oladi. Shunda ehtimollar chekli bo'ladi. Biroq, bu usul ham sezilarli kamchilikka ega, chunki segmentlar o'zboshimchalik bilan tanlangan. Ushbu kamchilikni bartaraf etish uchun o'zgaruvchi ko'rib chiqiladigan shakl segmentlari. Keyin mos keladigan ehtimollik argumentning funktsiyasidir. Bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik tavsifini murakkablashtiradi, lekin ayni paytda tavsif (29.1) yagona bo'lib qoladi va segmentlarni tanlashning noaniqligi yo'q qilinadi.

Ko'rib chiqilgan misollarning har biri uchun ehtimollik fazosini aniqlash oson, bu erda elementar hodisalar fazosi, hodisalar algebrasi (quyi to'plamlar), har qanday uchun aniqlangan ehtimollik. Misol uchun, oxirgi misolda, - tarkibidagi barcha segmentlar algebrasi.

Ko'rib chiqilgan misollar tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi ta'rifiga olib keladi.

Ehtimollar maydoni bo'lsin. Tasodifiy o'zgaruvchi - aniqlangan bir qiymatli haqiqiy funktsiya bo'lib, u uchun shaklning elementar hodisalari to'plami har bir haqiqiy son uchun hodisa (ya'ni tegishli) hisoblanadi.

Shunday qilib, ta'rif har bir haqiqiy to'plam uchun buni talab qiladi va bu shart har bir hodisaning ehtimoli aniqlanishini ta'minlaydi. Ushbu hodisa odatda qisqaroq yozuv bilan belgilanadi.

Ehtimollarni taqsimlash funksiyasi

Funksiya tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi deb ataladi.

Funktsiya ba'zan qisqacha - taqsimot funktsiyasi, shuningdek - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining integral qonuni deb ataladi. Funksiya tasodifiy miqdorning to‘liq xarakteristikasi bo‘lib, ya’ni tasodifiy miqdorning barcha xossalarining matematik tavsifi bo‘lib, bu xossalarni tavsiflashning batafsilroq usuli yo‘q.

Ta'rifning quyidagi muhim xususiyatini ta'kidlaymiz (30.1). Ko'pincha funktsiya boshqacha ta'riflanadi:

(30.1) ga ko'ra funksiya o'ng-uzluksizdir. Bu masala quyida batafsil ko'rib chiqiladi. Biroq, ta'rif (30.2) ishlatilsa, u holda - chap tomonda uzluksiz bo'lib, bu (30.2) nisbatan qat'iy tengsizlikni qo'llash natijasidir. (30.1) va (30.2) funksiyalar tasodifiy miqdorning ekvivalent tavsifidir, chunki nazariy masalalarni o'rganishda ham, muammolarni hal qilishda ham qaysi ta'rifdan foydalanish muhim emas. Aniqlik uchun biz faqat ta'rifdan foydalanamiz (30.1).

Funksiya grafigini tuzish misolini ko'rib chiqing. Tasodifiy o'zgaruvchi, ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin. Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchi nol ehtimollik bilan ko'rsatilganlardan tashqari boshqa qiymatlarni oladi: har qanday uchun. Yoki ular aytganidek, tasodifiy o'zgaruvchi boshqa qiymatlarni qabul qila olmaydi. Aniqlik uchun ruxsat bering. Funktsiyaning qiymatlarini 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7) oraliqlaridan toping. Birinchi intervalda, shuning uchun taqsimlash funktsiyasi. 2). Agar, keyin. Shubhasiz tasodifiy hodisalar va mos kelmaydigan, shuning uchun ehtimolliklarni qo'shish formulasiga ko'ra. Shartiga ko'ra, voqea mumkin emas va, a. Shunung uchun. 3). Mayli, unda. Bu erda birinchi muddat, ikkinchisi, chunki voqea mumkin emas. Shunday qilib, shartni qondiradigan har bir kishi uchun. to'rtta). Mayli, unda. 5). Agar, keyin. 6) Bizda bo'lganda. 7) Agar bo'lsa. Hisoblash natijalari rasmda ko'rsatilgan. 30.1 funksiya grafigi. Uzluksizlik nuqtalarida o'ngdagi funksiyaning uzluksizligi ko'rsatiladi.

Ehtimollarni taqsimlash funksiyasining asosiy xossalari

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan taqsimlash funktsiyasining asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1. Belgini kiritamiz:. Keyin ta'rifdan kelib chiqadi. Bu yerda ifoda nol ehtimollik bilan imkonsiz hodisa sifatida qaraladi.

2. Mayli. Keyin funksiya ta'rifidan kelib chiqadi. Tasodifiy hodisa aniq va uning ehtimoli birga teng.

3. Tasodifiy o'zgaruvchining at oraliqdan qiymat olishidan iborat bo'lgan tasodifiy hodisaning ehtimoli funktsiya orqali quyidagi tenglik bilan aniqlanadi.

Ushbu tenglikni isbotlash uchun munosabatni ko'rib chiqing.

Hodisalar va mos kelmaydigan, shuning uchun ehtimollarni qo'shish formulasiga ko'ra, (31.3) dan kelib chiqadi va (31.2) formulaga to'g'ri keladi, chunki va.

4. Funksiya kamaymaydi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik. Bunday holda (31.2) tenglik amal qiladi. Uning chap tomoni, chunki ehtimollik qiymatlarni intervaldan oladi. Demak, tenglikning o'ng tomoni (31.2) ham salbiy emas:, yoki. Bu tenglik shart ostida olinadi, shuning uchun kamaymaydigan funktsiya hisoblanadi.

5. Funktsiya har bir nuqtada to'g'ri uzluksiz, ya'ni.

qayerda har qanday ketma-ketlik o'ngga moyil, ya'ni. va.

Buni isbotlash uchun funktsiyani quyidagi shaklda ifodalaymiz:

Endi, ehtimollikning hisoblanuvchi qo‘shiluvchanligi aksiomasidan kelib chiqib, jingalak qavs ichidagi ifoda teng bo‘lib, bu funksiyaning to‘g‘ri uzluksizligini isbotlaydi.

Shunday qilib, har bir ehtimollik taqsimoti funksiyasi 1-5 xossalariga ega. Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar 1-5 shartlarni qanoatlantirsa, uni qandaydir tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi sifatida ko'rish mumkin.

Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchi, agar uning qiymatlari to'plami cheklangan yoki sanab bo'ladigan bo'lsa, diskret deyiladi.

Qiymatlarni qabul qiladigan diskret tasodifiy miqdorning to'liq ehtimollik tavsifi uchun tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimollarini ko'rsatish kifoya. Agar va berilgan bo'lsa, diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Bu erda yig'indilash shartni qanoatlantiradigan barcha indekslar bo'yicha amalga oshiriladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti funksiyasi ba'zan birlik sakrash funktsiyasi deb ataladigan ko'rinishda ifodalanadi.

Bu holda, agar tasodifiy miqdor cheklangan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, u shaklni oladi va (32.4) dagi yuqori yig'indi chegarasi, agar tasodifiy o'zgaruvchi hisoblash mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, teng deb qabul qilinadi.

Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyalarining grafigini tuzish misoli 30-bo‘limda ko‘rib chiqildi.

Ehtimollik zichligi

Tasodifiy o‘zgaruvchi differensiallanuvchi ehtimollik taqsimot funksiyasiga ega bo‘lsin, u holda funksiya tasodifiy o‘zgaruvchining ehtimollik taqsimot zichligi (yoki ehtimollik zichligi), tasodifiy miqdor esa uzluksiz tasodifiy miqdor deb ataladi.

Ehtimollik zichligining asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Hosilning ta'rifi tenglikni nazarda tutadi:

Funktsiya xossalariga ko'ra tenglik sodir bo'ladi. Shuning uchun (33.2) quyidagi shaklni oladi:

Bu munosabat funksiya nomini tushuntiradi. Darhaqiqat, (33.3) ga ko'ra, funktsiya birlik oralig'ida, chunki nuqtada ehtimollikdir. Shunday qilib, (33.3) munosabat bilan aniqlangan ehtimollik zichligi fizikada ma'lum bo'lgan boshqa miqdorlarning zichligi ta'riflariga o'xshaydi, masalan, oqim zichligi, materiya zichligi, zaryad zichligi va boshqalar.

2. kamaymaydigan funksiya bo‘lganligi uchun uning hosilasi manfiy bo‘lmagan funksiya bo‘ladi:

3. (33.1) dan kelib chiqadi, chunki. Shunday qilib, tenglik

4. Chunki (33.5) munosabatdan kelib chiqadi.

Tenglik, bu normalizatsiya sharti deb ataladi. Uning chap tomoni - ma'lum bir hodisaning ehtimoli.

5. U holda (33.1) dan kelib chiqsin

Bu bog'liqlik ilovalar uchun muhim, chunki u ehtimollik zichligi yoki ehtimollik taqsimoti funksiyasi bo'yicha ehtimollikni hisoblash imkonini beradi. Agar o'rnatsak, (33.6) munosabat (33.7) dan kelib chiqadi.

Shaklda. 33.1 taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarining misollarini ko'rsatadi.

E'tibor bering, ehtimollik taqsimoti zichligi bir nechta maksimal bo'lishi mumkin. Zichlik maksimalga ega bo'lgan argumentning qiymati tasodifiy miqdorni taqsimlash rejimi deb ataladi. Agar zichlik bir nechta rejimga ega bo'lsa, u multimodal deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi

taqsimotning diskret ehtimollik zichligi

Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin. U holda uning ehtimollik taqsimoti funksiyasi bu yerda birlik sakrash funksiyasi. Tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini tenglikni hisobga olgan holda taqsimlash funktsiyasi orqali aniqlash mumkin. Biroq, bu holatda matematik qiyinchiliklar yuzaga keladi, chunki (34.1) dagi birlik sakrash funktsiyasi at birinchi turdagi uzilishga ega. Demak, funksiyaning hosilasi nuqtada mavjud emas.

Ushbu murakkablikni bartaraf etish uchun -funksiya kiritiladi. Birlik sakrash funktsiyasini -funksiyada quyidagi tenglik bilan ifodalash mumkin:

Keyin funktsiyaning hosilasi sifatida (34.1) munosabatdan diskret tasodifiy miqdorning hosilasi va ehtimollik zichligi rasmiy ravishda aniqlanadi:

(34.4) funksiya ehtimollik zichligining barcha xossalariga ega. Bir misolni ko'rib chiqing. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin va ruxsat bering. Keyin tasodifiy o'zgaruvchining segmentdan qiymat olish ehtimoli quyidagi formula bo'yicha zichlikning umumiy xususiyatlaridan kelib chiqib hisoblanishi mumkin:

Bu yerda, chunki shart bilan aniqlangan funksiyaning birlik nuqtasi at integrallash mintaqasi ichida, singulyar nuqtada esa integrasiya viloyatidan tashqarida joylashgan. Shunday qilib.

Funktsiya (34.4) normalizatsiya shartini ham qondiradi:

E'tibor bering, matematikada (34.4) shakldagi yozuv noto'g'ri (noto'g'ri), yozuv (34.2) esa to'g'ri deb hisoblanadi. Bu nol argument bilan -funksiya va u mavjud emas, deb aslida tufaylidir. Boshqa tomondan, (34.2) da -funksiya integral ostida joylashgan. Bunday holda, (34.2) ning o'ng tomoni har qanday uchun cheklangan qiymatdir, ya'ni. -funksiyaning integrali mavjud. Shunga qaramay, fizika, muhandislik va ehtimollar nazariyasining boshqa ilovalarida zichlikni (34.4) ko'rinishida ko'rsatish ko'pincha qo'llaniladi, bu birinchidan, xususiyatlarni - funktsiyalarni qo'llash orqali to'g'ri natijalarni olish imkonini beradi, ikkinchidan, aniq jismoniy talqinga ega. .

Zichlik va ehtimollik taqsimotiga misollar

35.1. Tasodifiy o'zgaruvchi segment bo'yicha bir xil taqsimlangan deb ataladi, agar uning ehtimoli taqsimot zichligi bo'lsa

bu yerda raqam normallashtirish sharti asosida aniqlanadi:

(35.2) dagi (35.1) almashtirish tenglikka olib keladi, uning yechimi nisbatan ko'rinishga ega:.

Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasini (33.5) formula orqali topish mumkin, u zichlik orqali aniqlanadi:

Shaklda. 35.1 funksiyalarning grafiklari va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar keltirilgan.

35.2. Tasodifiy o'zgaruvchi normal (yoki Gauss) deb ataladi, agar uning ehtimollik taqsimot zichligi:

bu yerda, sonlar funksiya parametrlari deyiladi. Funktsiya maksimal qiymatini olganda:. Parametr samarali kenglik ma'nosiga ega. Ushbu geometrik talqinga qo'shimcha ravishda, parametrlar ehtimollik talqiniga ham ega, ular keyinroq muhokama qilinadi.

dan (35.4) ehtimollik taqsimoti funksiyasining ifodasi keladi

Laplas funksiyasi qayerda. Shaklda. Funksiyalarning 35,2 grafiklari va normal tasodifiy o'zgaruvchilar taqdim etilgan. Tasodifiy o'zgarmaydigan parametrlar bilan normal taqsimotga ega ekanligini ko'rsatish uchun ko'pincha yozuv ishlatiladi.

35.3. Tasodifiy o'zgaruvchi Koshi ehtimollik zichligiga ega, agar

Bu zichlik taqsimot funksiyasiga mos keladi

35.4. Tasodifiy o'zgaruvchi eksponensial taqsimlangan deb ataladi, agar uning ehtimollik taqsimot zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa:

Uning ehtimollik taqsimoti funksiyasini aniqlaymiz. Chunki (35.8) dan kelib chiqadi. Agar u holda

35.5. Tasodifiy o'zgaruvchining Rayleigh ehtimollik taqsimoti shaklning zichligi bilan aniqlanadi

Bu zichlik at va ga teng ehtimollik taqsimot funksiyasiga mos keladi.

35.6. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va zichligini qurish misollarini ko'rib chiqing. Tasodifiy o'zgaruvchi mustaqil sinovlar ketma-ketligidagi muvaffaqiyatlar soni bo'lsin. Keyin tasodifiy o'zgaruvchi Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimollik bilan qiymatlarni oladi:

Bu erda, bitta tajribada muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Shunday qilib, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funktsiyasi shaklga ega

birlik sakrash funksiyasi qayerda. Shunday qilib, tarqatish zichligi:

delta funktsiyasi qayerda.

Singular tasodifiy o'zgaruvchilar

Diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga qo'shimcha ravishda yakka tasodifiy o'zgaruvchilar ham mavjud. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar ularning ehtimollik taqsimoti funktsiyasi uzluksiz ekanligi bilan tavsiflanadi, lekin o'sish nuqtalari nol o'lchov to'plamini tashkil qiladi. Funktsiyaning o'sish nuqtasi uning argumentining hosila bo'ladigan qiymatidir.

Shunday qilib, funktsiya sohasining deyarli hamma joyida. Bu shartni qanoatlantiradigan funksiya ham birlik deyiladi. Singulyar taqsimot funksiyasiga misol sifatida Cantor egri chizig'ini keltirish mumkin (36.1-rasm), u quyidagicha tuzilgan. Tayanadi va davom etadi. Keyin interval uchta teng qismga (segmentlarga) bo'linadi va ichki segment uchun qiymat aniqlanadi - o'ng va chapdagi eng yaqin segmentlarda allaqachon aniqlangan qiymatlarning yarim yig'indisi sifatida. Hozirgi vaqtda funktsiya uchun, uning qiymati va qiymati bilan for aniqlangan. Ushbu qiymatlarning yarmi yig'indisi ichki segmentdagi qiymatga teng va uni aniqlaydi. Keyin segmentlar va ko'rib chiqiladi, ularning har biri uchta teng segmentga bo'linadi va funktsiya o'ngga va chapga eng yaqin bo'lgan funktsiyaning berilgan qiymatlarining yarim yig'indisi sifatida ichki segmentlarda aniqlanadi. Shunday qilib, funktsiya uchun - sonlarning yarim yig'indisi sifatida va. Xuddi shunday intervalli funksiyada. Keyin funksiya oraliqda aniqlanadi, qaysi va hokazo.

...

Shunga o'xshash hujjatlar

    tasodifiy o'zgaruvchilar. Diskret tasodifiy miqdorning funksiyasi va ehtimollik taqsimoti zichligi. Singular tasodifiy o'zgaruvchilar. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. Chebishev tengsizligi. Momentlar, kumulantlar va xarakterli funksiya.

    referat, 03.12.2007 qo'shilgan

    Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika tushunchalari, ularning amaliyotda qo'llanilishi. Tasodifiy o'zgaruvchining ta'rifi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning turlari va misollari. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunlari.

    referat, 25.10.2015 qo'shilgan

    X tasodifiy o'zgaruvchiga ma'lum oraliqda urilish ehtimoli. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini chizish. Tasodifiy tanlangan mahsulotning standartga mos kelishi ehtimolini aniqlash. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni.

    test, 2013-01-24 qo'shilgan

    Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari. Umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulasi. Matematik kutishning umumiy xossalari. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi. Tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi. Ehtimollarning klassik ta'rifi.

    nazorat ishi, 12/13/2010 qo'shilgan

    Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, tizimning ehtimollik taqsimoti zichligi. kovariatsiya. Korrelyatsiya koeffitsienti.

    laboratoriya ishi, 2002-08-19 qo'shilgan

    Taqsimotning xususiyatlari tasodifiy o'zgaruvchining eng universal xarakteristikasi sifatida ishlaydi. Uning xossalarini tavsiflash, ularni geometrik talqin yordamida tasvirlash. Diskret tasodifiy miqdorning tarqalish ehtimolini hisoblash naqshlari.

    taqdimot, 11/01/2013 qo'shilgan

    Bernulli formulasi yordamida turli hodisalarning ehtimolini aniqlash. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzish, tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishini, ehtimollik zichliklarini hisoblash.

    nazorat ishi, qo'shilgan 10/31/2013

    Hodisa sodir bo'lish ehtimolini topish uchun Bernulli formulasidan foydalaning. Diskret tasodifiy miqdorning grafigini tuzish. Integral taqsimot funksiyasining matematik kutilishi va xossalari. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi.

    test, 29/01/2014 qo'shilgan

    Ommaviy tasodifiy hodisalarning ehtimollik va qonuniyatlari nazariyasi. Tengsizlik va Chebishev teoremasi. Tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari. Tarqatish zichligi va Furye konvertatsiyasi. Gauss tasodifiy miqdorning xarakteristik funktsiyasi.

    referat, 24.01.2011 qo'shilgan

    Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi, taqsimot funksiyasi va standart og'ishini hisoblash. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni. Hodisa ehtimolining klassik ta'rifi. Tarqatish zichligini topish.

O'qishni tavsiya qilamiz