შეთანხმების კრიტერიუმები (შეესაბამება)

განაწილების თეორიულ კანონთან ემპირიული განაწილების შესაბამისობის შესახებ ჰიპოთეზის შესამოწმებლად გამოიყენება სპეციალური სტატისტიკური ინდიკატორები - სიკეთის კრიტერიუმები (ან შესაბამისობის კრიტერიუმები). მათ შორისაა პირსონის, კოლმოგოროვის, რომანოვსკის, იასტრემსკის და ა.შ. კრიტერიუმები. მორგების კრიტერიუმების უმეტესობა დაფუძნებულია ემპირიული სიხშირეების თეორიულიდან გადახრების გამოყენებაზე. ცხადია, რაც უფრო მცირეა ეს გადახრები, მით უკეთესად ემთხვევა (ან აღწერს) თეორიული განაწილება ემპირიულს.

თანხმობის კრიტერიუმები -ეს არის კრიტერიუმები ჰიპოთეზების შესამოწმებლად ემპირიული განაწილების შესაბამისობის თეორიულ განაწილებასთან. ასეთი კრიტერიუმები იყოფა ორ კლასად: ზოგადი და სპეციალური. ზოგადი სიკეთის კრიტერიუმები ვრცელდება ჰიპოთეზის ყველაზე ზოგად ფორმულირებაზე, კერძოდ ჰიპოთეზაზე, რომ დაკვირვებული შედეგები ეთანხმება აპრიორი სავარაუდო ალბათობის განაწილებას. სპეციალური სიკეთის ტესტები გულისხმობს სპეციალურ ნულოვან ჰიპოთეზებს, რომლებიც აყალიბებენ შეთანხმებას ალბათობის განაწილების გარკვეულ ფორმასთან.

მორგების კრიტერიუმების სიკეთე, დადგენილ განაწილების კანონზე დაყრდნობით, შესაძლებელს ხდის დადგინდეს, როდის უნდა იქნას აღიარებული შეუსაბამობები თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის უმნიშვნელოდ (შემთხვევითი) და როდის - მნიშვნელოვანი (არაშემთხვევითი). აქედან გამომდინარეობს, რომ სიკეთის კრიტერიუმები შესაძლებელს ხდის უარვყოთ ან დაადასტუროთ ჰიპოთეზის სისწორე ემპირიულ სერიაში განაწილების ბუნების შესახებ სერიის ნიველირებისას და პასუხის გაცემა შესაძლებელია თუ არა მოდელი, რომელიც გამოხატულია თეორიული განაწილების კანონით მოცემული ემპირიული განაწილებისთვის.

Pearson's x2 (chi-square) სიკეთის შესატყვისობის ტესტი ერთ-ერთი მთავარი სიკეთის კრიტერიუმია. შემოთავაზებული ინგლისელი მათემატიკოსის კარლ პირსონის (1857-1936) მიერ ემპირიული და თეორიული განაწილების სიხშირეებს შორის შეუსაბამობების შემთხვევითობის (მნიშვნელოვნების) შესაფასებლად:

სადაც კ-ჯგუფების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ემპირიული განაწილება; ფი-ნიშან-თვისების ემპირიული სიხშირე ში მე-ე ჯგუფი; / ts °р - ნიშან-თვისების თეორიული სიხშირე ში მე-ეჯგუფი.

კრიტერიუმების გამოყენების სქემა y)თეორიული და ემპირიული განაწილების თანმიმდევრულობის შესაფასებლად დაყვანილია შემდეგზე.

• 1. შეუსაბამობის გამოთვლილი ზომა განისაზღვრება % 2 აკ.
• 2. თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა განისაზღვრება.
• 3. თავისუფლების გრადუსების რაოდენობის მიხედვით v სპეციალური ცხრილის გამოყენებით განისაზღვრება %^bl
• 4. თუ % 2 asch >x 2 abl, მაშინ მოცემული მნიშვნელოვნების დონე a და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა v, უარყოფილია შეუსაბამობების უმნიშვნელოობის (შემთხვევითობის) ჰიპოთეზა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჰიპოთეზა შეიძლება ჩაითვალოს, რომ არ ეწინააღმდეგება მიღებულ ექსპერიმენტულ მონაცემებს და (1 - ა) ალბათობით, შეიძლება ითქვას, რომ თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის შეუსაბამობები შემთხვევითია.

მნიშვნელობის დონე -არის წამოყენებული ჰიპოთეზის მცდარი უარყოფის ალბათობა, ე.ი. სწორი ჰიპოთეზის უარყოფის ალბათობა. სტატისტიკურ კვლევებში, გადასაჭრელი ამოცანების მნიშვნელობიდან და პასუხისმგებლობიდან გამომდინარე, გამოიყენება მნიშვნელოვნების შემდეგი სამი დონე:

• 1) a = 0.1, მაშინ P = 0,9;
• 2) a = 0.05, მაშინ P = 0,95;
• 3) a = 0.01, მაშინ P = 0,99.

სიკეთის მორგების გამოყენება y),უნდა დაიცვან შემდეგი პირობები.

• 1. შესწავლილი პოპულაციის მოცულობა უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას n > 50, ხოლო ჯგუფის სიხშირე ან ზომა უნდა იყოს მინიმუმ 5. თუ ეს პირობა დაირღვა, ჯერ უნდა გააერთიანოთ მცირე სიხშირეები (5-ზე ნაკლები).
• 2. ემპირიული განაწილება უნდა შედგებოდეს შემთხვევითი შერჩევის შედეგად მიღებული მონაცემებისგან, ე.ი. ისინი დამოუკიდებელი უნდა იყვნენ.

პირსონის სიკეთის კრიტერიუმის მინუსი არის ზოგიერთი საწყისი ინფორმაციის დაკარგვა, რომელიც დაკავშირებულია დაკვირვების შედეგების ინტერვალებად დაჯგუფების აუცილებლობასთან და ინდივიდუალური ინტერვალების გაერთიანება დაკვირვებების მცირე რაოდენობასთან. ამასთან დაკავშირებით რეკომენდებულია კრიტერიუმის მიხედვით განაწილებების შესაბამისობის გადამოწმების დამატება y)სხვა კრიტერიუმები. ეს განსაკუთრებით ეხება, როდესაც ნიმუშის ზომაა პ ~ 100.

სტატისტიკაში, კოლმოგოროვის სიკეთის ტესტი (ასევე ცნობილი როგორც კოლმოგოროვი-სმირნოვის სიკეთის ტესტი) გამოიყენება იმის დასადგენად, ემორჩილება თუ არა ორი ემპირიული განაწილება ერთსა და იმავე კანონს, ან იმის დასადგენად, ემორჩილება თუ არა მიღებული განაწილება სავარაუდო მოდელს. . კოლმოგოროვის კრიტერიუმი ემყარება მაქსიმალური სხვაობის დადგენას დაგროვილ სიხშირეებს ან ემპირიულ თუ თეორიულ განაწილების სიხშირეებს შორის. კოლმოგოროვის კრიტერიუმი გამოითვლება შემდეგი ფორმულების მიხედვით:

სადაც დდა დ-შესაბამისად, მაქსიმალური სხვაობა დაგროვილ სიხშირეებს შორის (/-/") და დაგროვილ სიხშირეებს შორის ( rr„) განაწილებათა ემპირიული და თეორიული სერია; N-ერთეულების რაოდენობა მოსახლეობაში.

ღირებულების გამოთვლის შემდეგ x,სპეციალური ცხრილი განსაზღვრავს ალბათობას, რომლითაც შეიძლება ითქვას, რომ ემპირიული სიხშირეების გადახრები თეორიულიდან შემთხვევითია. თუ ნიშანი იღებს მნიშვნელობებს 0.3-მდე, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ არსებობს სიხშირეების სრული დამთხვევა. დაკვირვების დიდი რაოდენობით, კოლმოგოროვის ტესტს შეუძლია გამოავლინოს ნებისმიერი გადახრა ჰიპოთეზადან. ეს ნიშნავს, რომ ნიმუშის განაწილებაში ნებისმიერი განსხვავება თეორიულიდან გამოვლინდება მისი დახმარებით, თუ ბევრი დაკვირვება იქნება. ამ თვისების პრაქტიკული მნიშვნელობა უმნიშვნელოა, რადგან უმეტეს შემთხვევაში ძნელია მუდმივ პირობებში დიდი რაოდენობის დაკვირვების მოპოვება, თეორიული იდეა განაწილების კანონის შესახებ, რომელსაც ნიმუში უნდა დაემორჩილოს, ყოველთვის მიახლოებითია და სტატისტიკური შემოწმების სიზუსტე არ უნდა აღემატებოდეს არჩეული მოდელის სიზუსტეს.

რომანოვსკის სიკეთის ტესტი ეფუძნება პირსონის ტესტის გამოყენებას, ე.ი. უკვე ნაპოვნი მნიშვნელობები x 2 > და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა:

სადაც v არის ცვალებადობის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა.

რომანოვსკის კრიტერიუმი მოსახერხებელია x 2-ისთვის ცხრილების არარსებობის შემთხვევაში. Თუ კ რ TO? > 3, მაშინ ისინი არ არიან შემთხვევითი და თეორიული განაწილება ვერ იქნება შესწავლილი ემპირიული განაწილების მოდელი.

ბ.ს იასტრემსკიმ შეთანხმების კრიტერიუმში გამოიყენა არა თავისუფლების ხარისხი, არამედ ჯგუფების რაოდენობა ( კ), სპეციალური მნიშვნელობა 0 ჯგუფების რაოდენობის მიხედვით და chi-კვადრატის მნიშვნელობა. იასტრემსკის შეთანხმების კრიტერიუმს იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც რომანოვსკის კრიტერიუმს და გამოიხატება ფორმულით

სადაც x 2 - პირსონის შეთანხმების კრიტერიუმი; /e gr - ჯგუფების რაოდენობა; 0 - კოეფიციენტი, 20-ზე ნაკლები ჯგუფებისთვის 0,6-ის ტოლი.

თუ 1f მოქმედებს > 3, შეუსაბამობები თეორიულ და ემპირიულ განაწილებებს შორის არ არის შემთხვევითი, ე.ი. ემპირიული განაწილება არ აკმაყოფილებს ნორმალური განაწილების მოთხოვნებს. თუ 1f მოქმედებს

უკრაინის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

აზოვის მენეჯმენტის რეგიონალური ინსტიტუტი

ზაპორიჟიის ეროვნული ტექნიკური უნივერსიტეტი

მათემატიკის დეპარტამენტი

საკურსო სამუშაო

H დისციპლინა "სტატისტიკა"

თემაზე: „თანხმობის კრიტერიუმები“

მე-2 კურსის სტუდენტები

ჯგუფი 207 მენეჯმენტის ფაკულტეტი

ბათურა ტატიანა ოლეგოვნა

სამეცნიერო მრჩეველი

ასოცირებული პროფესორი კოსენკოვი O.I.

ბერდიანსკი - 2009 წ

შესავალი

1.2 პირსონის χ 2 სიკეთე მარტივი ჰიპოთეზისთვის

1.3 მორგების სიკეთე რთული ჰიპოთეზებისთვის

1.4 ფიშერის χ 2 სიკეთე-of-fit ტესტები რთული ჰიპოთეზა

1.5 სხვა თანხმობის კრიტერიუმები. სიკეთე-of-fit პუასონის განაწილებისთვის

ნაწილი II. თანხმობის პრაქტიკული გამოყენება კრიტერიუმი

აპები

გამოყენებული ლიტერატურის სია

შესავალი

ეს კურსის ნაშრომი აღწერს მორგების კრიტერიუმების ყველაზე გავრცელებულ სიკეთეს - ომეგა-კვადრატი, ჩი-კვადრატი, კოლმოგოროვი და კოლმოგოროვი-სმირნოვი. განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა იმ შემთხვევას, როდესაც საჭიროა შეამოწმოს, ეკუთვნის თუ არა მონაცემთა განაწილება რომელიმე პარამეტრულ ოჯახს, მაგალითად, ნორმალურს. ეს სიტუაცია, რომელიც პრაქტიკაში ძალზედ გავრცელებულია, სირთულიდან გამომდინარე, ბოლომდე არ არის შესწავლილი და სრულად არ არის ასახული საგანმანათლებლო და საცნობარო ლიტერატურაში.

სიკეთის კრიტერიუმებს უწოდებენ სტატისტიკურ ტესტებს, რომლებიც შექმნილია ექსპერიმენტულ მონაცემებსა და თეორიულ მოდელს შორის შეთანხმების შესამოწმებლად. ეს კითხვა საუკეთესოდ არის შემუშავებული, თუ დაკვირვებები წარმოადგენს შემთხვევით ნიმუშს. თეორიული მოდელი ამ შემთხვევაში აღწერს განაწილების კანონს.

თეორიული განაწილება არის ალბათობის განაწილება, რომელიც მართავს შემთხვევით შერჩევას. არა მხოლოდ თეორიას შეუძლია ამის შესახებ იდეების მიცემა. აქ ცოდნის წყარო შეიძლება იყოს ტრადიცია, წარსული გამოცდილება და წინა დაკვირვებები. ჩვენ მხოლოდ უნდა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ეს განაწილება უნდა შეირჩეს, მიუხედავად იმისა, თუ რა მონაცემების შემოწმებას ვაპირებთ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დაუშვებელია ნიმუშზე ჯერ გარკვეული განაწილების კანონის „მორგება“ და შემდეგ იმავე ნიმუშზე მიღებულ კანონთან შეთანხმების შემოწმება.

მარტივი და რთული ჰიპოთეზები. განაწილების თეორიულ კანონზე საუბრისას, რომელსაც მოცემული ნიმუშის ელემენტები ჰიპოთეტურად უნდა მიჰყვეს, უნდა განვასხვავოთ მარტივი და რთული ჰიპოთეზები ამ კანონის შესახებ:

მარტივი ჰიპოთეზა პირდაპირ მიუთითებს ალბათობის გარკვეულ კონკრეტულ კანონზე (ალბათობის განაწილება), რომლის მიხედვითაც წარმოიშვა ნიმუშის მნიშვნელობები;

რთული ჰიპოთეზა მიუთითებს ერთ განაწილებაზე და ზოგიერთ მათგანზე (მაგალითად, პარამეტრულ ოჯახზე).

სიკეთის კრიტერიუმები ემყარება ანალიზურ ემპირიულ განაწილებასა და საერთო პოპულაციაში მახასიათებლის განაწილების ფუნქციას შორის მანძილის სხვადასხვა საზომების გამოყენებას.

ფართოდ გამოიყენება კოლმოგოროვის, სმირნოვის, ომეგა კვადრატის შეთანხმების არაპარამეტრული ტესტები. თუმცა, ისინი ასევე დაკავშირებულია სტატისტიკური მეთოდების გამოყენებაში გავრცელებულ შეცდომებთან.

ფაქტია, რომ ჩამოთვლილი კრიტერიუმები შემუშავდა შეთანხმების შესამოწმებლად სრულიად ცნობილი თეორიული განაწილებით. ფართოდ გამოიყენება გაანგარიშების ფორმულები, განაწილების ცხრილები და კრიტიკული მნიშვნელობები. კოლმოგოროვის, ომეგას კვადრატის და მსგავსი კრიტერიუმების მთავარი იდეაა ემპირიული განაწილების ფუნქციასა და თეორიულ განაწილების ფუნქციას შორის მანძილის გაზომვა. ეს კრიტერიუმები განსხვავდება განაწილების ფუნქციების სივრცეში მანძილების სახით.

ამ კურსის მუშაობის დაწყებით, ჩემს თავს დავსახე მიზანი, გამეგო, რა თანხმობის კრიტერიუმები არსებობს, გამეგო, რატომ არის ისინი საჭირო. ამ მიზნის მისაღწევად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ამოცანები:

1. გამოავლინოს „თანხმობის კრიტერიუმების“ ცნების არსი;

2. დაადგინეთ რა თანხმობის კრიტერიუმები არსებობს, ცალკე შეისწავლეთ ისინი;

3. დასკვნების გამოტანა შესრულებულ სამუშაოზე.

ნაწილი I. თანხმობის კრიტერიუმის თეორიული დასაბუთება

1.1 კოლმოგოროვის სიკეთის კრიტერიუმები და ომეგა-კვადრატი მარტივი ჰიპოთეზის შემთხვევაში

მარტივი ჰიპოთეზა. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც გაზომილი მონაცემები არის რიცხვები, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადები. ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადების განაწილება შეიძლება სრულად იყოს აღწერილი მათი განაწილების ფუნქციების მითითებით. და მრავალი სიკეთის ტესტი ეფუძნება თეორიული და ემპირიული (ნიმუშის) განაწილების ფუნქციების სიახლოვის შემოწმებას.

დავუშვათ, გვაქვს n-ის ნიმუში. ავღნიშნოთ ჭეშმარიტი განაწილების ფუნქცია, რომელსაც ექვემდებარება დაკვირვებები, G(x), ემპირიული (ნიმუში) განაწილების ფუნქცია - F n (x) და ჰიპოთეტური განაწილების ფუნქცია - F(x). მაშინ ჰიპოთეზა H, რომ ჭეშმარიტი განაწილების ფუნქციაა F(x) იწერება როგორც H: G(·) = F(·).

როგორ შევამოწმოთ ჰიპოთეზა H? თუ H მართალია, მაშინ F n და F უნდა აჩვენონ გარკვეული მსგავსება და მათ შორის განსხვავება უნდა შემცირდეს n გაზრდისას. ბერნულის თეორემის გამო, F n (x) → F(x) როგორც n → ∞. სხვადასხვა მეთოდი გამოიყენება F n და F ფუნქციების მსგავსების რაოდენობრივად დასადგენად.

ფუნქციების მსგავსების გამოსახატავად, ამ ფუნქციებს შორის ამა თუ იმ მანძილის გამოყენება შეიძლება. მაგალითად, შეიძლება შევადაროთ F n და F ერთგვაროვან მეტრიკაში, ე.ი. გაითვალისწინეთ ღირებულება:

(1.1)

სტატისტიკას D n ეწოდება კოლმოგოროვის სტატისტიკა.

ცხადია, D n არის შემთხვევითი ცვლადი, რადგან მისი მნიშვნელობა დამოკიდებულია შემთხვევით ობიექტზე F n. თუ ჰიპოთეზა H 0 მართალია და n → ∞, მაშინ F n (x) → F(x) ნებისმიერი x-ისთვის. აქედან გამომდინარე, ბუნებრივია, რომ ამ პირობებში D n → 0. თუ ჰიპოთეზა H 0 მცდარია, მაშინ F n → G და G ≠ F და, შესაბამისად, sup -∞

როგორც ყოველთვის ჰიპოთეზის ტესტირებისას, ჩვენ ვმსჯელობთ ისე, თითქოს ჰიპოთეზა იყოს ჭეშმარიტი. ცხადია, რომ H 0 უარყოფილი უნდა იყოს, თუ ექსპერიმენტში მიღებული D n სტატისტიკის მნიშვნელობა წარმოუდგენლად დიდი ჩანს. მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ, როგორ ნაწილდება D n სტატისტიკა ჰიპოთეზის მიხედვით H: F= G მოცემული n-სთვის და G-სთვის.

D n-ის შესანიშნავი თვისებაა ის, რომ თუ G = F, ე.ი. თუ ჰიპოთეტური განაწილება სწორად არის მითითებული, მაშინ სტატისტიკის განაწილების კანონი D n გამოდის, რომ იგივეა ყველა უწყვეტი ფუნქციისთვის G. ეს დამოკიდებულია მხოლოდ ნიმუშის ზომაზე n.

ამ ფაქტის დადასტურება ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ სტატისტიკა არ ცვლის თავის მნიშვნელობას x-ღერძის მონოტონური გარდაქმნების დროს. ასეთი ტრანსფორმაციის საშუალებით, ნებისმიერი უწყვეტი განაწილება G შეიძლება გადაიქცეს ერთგვაროვან განაწილებად ინტერვალზე. ამ შემთხვევაში, F n (x) გადავა ნიმუშის განაწილების ფუნქციაში ამ ერთიანი განაწილებიდან.

მცირე n-სთვის, D n-სთვის H 0 ჰიპოთეზის მიხედვით, შედგენილია პროცენტული ქულების ცხრილები. დიდი n-სთვის, D n განაწილება (ჰიპოთეზის მიხედვით H 0) მითითებულია ლიმიტის თეორემით, რომელიც ნაპოვნია 1933 წელს A.N. კოლმოგოროვის მიერ. ის სტატისტიკაზე საუბრობს

(რადგან თავად მნიშვნელობა D n → 0 H 0-ზე, აუცილებელია მისი გამრავლება უსასრულოდ მზარდ მნიშვნელობაზე, რათა განაწილება დასტაბილურდეს). კოლმოგოროვის თეორემა ამბობს, რომ თუ H 0 მართალია და თუ G უწყვეტია:
(1.2)

ამ თანხის გამოთვლა ძალიან ადვილია Maple-ში. მარტივი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად H 0: G = F, საჭიროა გამოვთვალოთ სტატისტიკის მნიშვნელობა D n საწყისი ნიმუშიდან. ამისათვის მუშაობს მარტივი ფორმულა:

(1.3)

აქ x k-ის მეშვეობით - ორიგინალური ნიმუშიდან აგებული ვარიაციული სერიის ელემენტები. მიღებული მნიშვნელობა D n შემდეგ უნდა შევადაროთ ცხრილებიდან ამოღებულ კრიტიკულ მნიშვნელობებს ან გამოითვალოს ასიმპტომური ფორმულით. ჰიპოთეზა H 0 უარყოფილი უნდა იყოს (მნიშვნელოვნების არჩეულ დონეზე), თუ ექსპერიმენტში მიღებული D n-ის მნიშვნელობა აღემატება არჩეულ კრიტიკულ მნიშვნელობას, რომელიც შეესაბამება მნიშვნელობის მიღებულ დონეს.

მორგების კიდევ ერთი პოპულარული კრიტერიუმი მიიღება F n-სა და F-ს შორის მანძილის გაზომვით ინტეგრალურ მეტრიკაში. ის ეფუძნება ეგრეთ წოდებულ ომეგა-კვადრატის სტატისტიკას:

(1.4)

მისი რეალური მონაცემების გამოსათვლელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

(1.5)

თუ ჰიპოთეზა H 0 მართალია და ფუნქცია G უწყვეტია, ომეგა-კვადრატის სტატისტიკის განაწილება, ისევე როგორც D n სტატისტიკის განაწილება, დამოკიდებულია მხოლოდ n-ზე და არ არის დამოკიდებული G-ზე.

ისევე როგორც D n-ისთვის, ამისთვის

მცირე n-სთვის ხელმისაწვდომია პროცენტული ქულების ცხრილები, ხოლო n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის გამოყენებული უნდა იყოს სტატისტიკური n-ის შემზღუდველი (როგორც n → ∞) განაწილება. აქ ისევ უნდა გავამრავლოთ უსასრულოდ მზარდი ფაქტორით. შემზღუდველი განაწილება იპოვა ნ.ვ.სმირნოვმა 1939 წელს.ამისთვის შედგენილია დეტალური ცხრილები და გამოთვლითი პროგრამები. D n-ზე დაფუძნებული კრიტერიუმების მნიშვნელოვანი თეორიული თვისება: ისინი მართებულია ნებისმიერი G ≠ F ალტერნატივის მიმართ.

ვინაიდან კონკრეტული განაწილების ბუნების შესახებ ყველა დაშვება ჰიპოთეზაა, ისინი უნდა დაექვემდებაროს სტატისტიკურ შემოწმებას. თანხმობის კრიტერიუმები, რაც შესაძლებელს ხდის დადგინდეს, როდის უნდა იქნას აღიარებული შეუსაბამობები თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის უმნიშვნელოდ, ე.ი. შემთხვევითი, ხოლო როდის - მნიშვნელოვანი (არაშემთხვევითი). ამგვარად, სიკეთის კრიტერიუმები შესაძლებელს ხდის უარვყოთ ან დაადასტუროთ ჰიპოთეზის სისწორე ემპირიულ სერიაში განაწილების ბუნების შესახებ სერიის ნიველირებისას.

თანხმობის რამდენიმე კრიტერიუმი არსებობს. უფრო ხშირად გამოიყენება პირსონის, რომანოვსკის და კოლმოგოროვის კრიტერიუმები.

პირსონის სიკეთის ტესტი - ერთ-ერთი მთავარი

სადაც k არის ჯგუფების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ემპირიული განაწილება,
არის თვისების დაკვირვებული სიხშირე i-ე ჯგუფში,
არის თეორიული სიხშირე.
განაწილებისთვის შედგენილია ცხრილები, სადაც მორგების სიკეთის კრიტერიუმის კრიტიკული მნიშვნელობა მითითებულია მნიშვნელოვნების არჩეულ დონესა და თავისუფლების ხარისხზე df. (ან )
მნიშვნელოვნების დონე არის წამოყენებული ჰიპოთეზის მცდარი უარყოფის ალბათობა, ე.ი. სწორი ჰიპოთეზის უარყოფის ალბათობა. სტატისტიკაში სამი დონე გამოიყენება:

• a= 0.10, შემდეგ Р=0.90 (100-დან 10 შემთხვევაში შესაძლებელია სწორი ჰიპოთეზის უარყოფა);
• a=0.05, შემდეგ P=0.95;
• a=0.01, შემდეგ P=0.99.

თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა df განისაზღვრება, როგორც ჯგუფების რაოდენობა განაწილების სერიებში მინუს ობლიგაციების რაოდენობა: df = k –z. კავშირების რაოდენობა გაგებულია, როგორც თეორიული სიხშირეების გაანგარიშებისას გამოყენებული ემპირიული სერიების ინდიკატორების რაოდენობა, ე.ი. ემპირიული და თეორიული სიხშირეების დამაკავშირებელი ინდიკატორები.
მაგალითად, ნორმალური განაწილების მრუდთან გასწორებისას სამი კავშირი არსებობს:
; ; .
მაშასადამე, ნორმალური განაწილების მრუდის გასწვრივ გასწორებისას, თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა განისაზღვრება როგორც df = k –3.
მატერიალურობის შესაფასებლად, გამოთვლილი მნიშვნელობა შედარებულია ცხრილის ღირებულებასთან.
თეორიული და ემპირიული განაწილების სრული დამთხვევით, წინააღმდეგ შემთხვევაში >0. თუ >, მაშინ მნიშვნელოვნების მოცემული დონისთვის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობისთვის, ჩვენ უარვყოფთ შეუსაბამობების უმნიშვნელოობის (შემთხვევითობის) ჰიპოთეზას.
თუ , დავასკვნით, რომ ემპირიული სერია კარგად ეთანხმება მოსალოდნელი განაწილების ჰიპოთეზას და Р=(1-a) ალბათობით შეიძლება ვიკამათოთ, რომ თეორიულ და ემპირიულ სიხშირეებს შორის შეუსაბამობა შემთხვევითია.
Pearson-ის სიკეთე-of-fit ტესტი გამოიყენება, თუ პოპულაციის ზომა საკმარისად დიდია და თითოეული ჯგუფის სიხშირე უნდა იყოს მინიმუმ 5.

რომანოვსკის კრიტერიუმით პირსონის კრიტერიუმის გამოყენებაზე დაყრდნობით, ე.ი. უკვე ნაპოვნი მნიშვნელობები და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა df:

ის სასარგებლოა, როცა მაგიდები არ არის.
თუ თან<3, то расхождения распределений случайны, если же с>3, მაშინ ისინი არ არიან შემთხვევითი და თეორიული განაწილება ვერ იქნება შესწავლილი ემპირიული განაწილების მოდელი.

კოლმოგოროვის კრიტერიუმი ლ დაფუძნებულია მაქსიმალური შეუსაბამობის დადგენაზე დაგროვილ სიხშირეებსა და ემპირიულ და თეორიულ განაწილების სიხშირეებს შორის:
ან ,
სადაც D და d არის, შესაბამისად, მაქსიმალური სხვაობა დაგროვილ სიხშირეებსა და განაწილებათა ემპირიული და თეორიული სერიის დაგროვილ სიხშირეებს შორის;
N არის მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.
l-ის მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ, ცხრილი P(l) განსაზღვრავს ალბათობას, რომლითაც შეიძლება ითქვას, რომ ემპირიული სიხშირეების გადახრები თეორიულიდან შემთხვევითია. ალბათობა Р(l) შეიძლება იცვლებოდეს 0-დან 1-მდე. Р(l)=1-ზე არის სიხშირეების სრული დამთხვევა, Р(l)=0 – სრული შეუსაბამობა. თუ l იღებს მნიშვნელობებს 0.3-მდე, მაშინ P(l)=1.
კოლმოგოროვის კრიტერიუმის გამოყენების მთავარი პირობაა დაკვირვებების საკმარისად დიდი რაოდენობა.

ამ ნაწილში განვიხილავთ ერთ-ერთ საკითხს, რომელიც დაკავშირებულია ჰიპოთეზების ალბათობის შემოწმებასთან, კერძოდ, თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის თანმიმდევრულობის საკითხს.

დავუშვათ, რომ მოცემული სტატისტიკური განაწილება გათანაბრებულია ზოგიერთი თეორიული მრუდის გამოყენებით f(x)(ნახ. 7.6.1). რაც არ უნდა კარგად იყოს შერჩეული თეორიული მრუდი, გარკვეული შეუსაბამობები გარდაუვალია მასსა და სტატისტიკურ განაწილებას შორის. ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა: არის თუ არა ეს შეუსაბამობები გამოწვეული მხოლოდ შემთხვევითი გარემოებებით, რომლებიც დაკავშირებულია დაკვირვებების შეზღუდულ რაოდენობასთან, თუ არის ისინი მნიშვნელოვანი და დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ჩვენ მიერ არჩეული მრუდი ცუდად ასწორებს ამ სტატისტიკურ განაწილებას. ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიყენება ე.წ. „თანხმობის კრიტერიუმები“.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები

სიკეთის მორგების კრიტერიუმების გამოყენების იდეა შემდეგია.

ამ სტატისტიკურ მასალაზე დაყრდნობით, ჩვენ უნდა შევამოწმოთ ჰიპოთეზა H,რომელიც შედგება იმაში, რომ შემთხვევითი ცვლადი Xემორჩილება გარკვეულ განაწილების კანონს. ეს კანონი შეიძლება იყოს მოცემული ამა თუ იმ ფორმით: მაგალითად, განაწილების ფუნქციის სახით F(x)ან განაწილების სიმკვრივის სახით f(x),ან ალბათობათა სიმრავლის სახით p t,სადაც პტ- ალბათობა იმისა, რომ მნიშვნელობა Xჩავარდება შიგნით რაღაცგამონადენი.

ვინაიდან ამ ფორმებიდან განაწილების ფუნქცია F(x)არის ყველაზე ზოგადი და განსაზღვრავს ნებისმიერ სხვას, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ჰიპოთეზას H,როგორც შედგება იმაში, რომ ღირებულება Xაქვს განაწილების ფუნქცია ^(d :).

ჰიპოთეზის მიღება ან უარყოფა H,განიხილეთ გარკვეული რაოდენობა შენ,თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის შეუსაბამობის ხარისხის დამახასიათებელი. ღირებულება უშეიძლება შეირჩეს სხვადასხვა გზით; მაგალითად, როგორც უშეიძლება ავიღოთ თეორიული ალბათობების კვადრატული გადახრების ჯამი პტშესაბამისი სიხშირეებიდან R*ან იგივე კვადრატების ჯამი ზოგიერთი კოეფიციენტით („წონები“), ან სტატისტიკური განაწილების ფუნქციის მაქსიმალური გადახრა F*(x)თეორიულიდან F(x)და ა.შ. დავუშვათ, რომ რაოდენობა უაირჩია ასე თუ ისე. ცხადია, არის რამდენიმე შემთხვევითი მნიშვნელობა.ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დამოკიდებულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონზე x,რომელზედაც ჩატარდა ექსპერიმენტები და ექსპერიმენტების რაოდენობის მიხედვით პ.თუ ჰიპოთეზა ჰმართალია, მაშინ სიდიდის განაწილების კანონი უგანსაზღვრული რაოდენობის განაწილების კანონით X(ფუნქცია F(x))და ნომერი პ.

დავუშვათ, რომ ეს განაწილების კანონი ჩვენთვის ცნობილია. ექსპერიმენტების ამ სერიის შედეგად აღმოჩნდა, რომ ჩვენ მიერ არჩეული ღონისძიება

თანხმობის კრიტერიუმები

შეუსაბამობები უგარკვეული ღირებულება მიიღო ა.საკითხავია, შეიძლება თუ არა ეს აიხსნას შემთხვევითი მიზეზებით, თუ ეს შეუსაბამობა ძალიან დიდია და მიუთითებს მნიშვნელოვანი სხვაობის არსებობაზე თეორიულ და სტატისტიკურ განაწილებებს შორის და, შესაბამისად, ჰიპოთეზის შეუსაბამობაზე. H?ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, დავუშვათ, რომ ჰიპოთეზა ჰსწორია და ამ დაშვებით ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას, რომ შემთხვევითი მიზეზების გამო, რომელიც დაკავშირებულია ექსპერიმენტული მასალის არასაკმარის რაოდენობასთან, შეუსაბამობის ზომა უიქნება არანაკლებ ექსპერიმენტში ჩვენ მიერ დაფიქსირებულ მნიშვნელობაზე და,ანუ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მოვლენის ალბათობას:

თუ ეს ალბათობა ძალიან მცირეა, მაშინ ჰიპოთეზა ჰუარყოფილი უნდა იყოს, როგორც არც თუ ისე დამაჯერებელი; თუ ეს ალბათობა მნიშვნელოვანია, უნდა აღიაროთ, რომ ექსპერიმენტული მონაცემები არ ეწინააღმდეგება ჰიპოთეზას ნ.

ჩნდება კითხვა, რა გზით უნდა შეირჩეს შეუსაბამობის საზომი £/? გამოდის, რომ მისი არჩევის ზოგიერთი ხერხისთვის არის რაოდენობის განაწილების კანონი უაქვს ძალიან მარტივი თვისებები და საკმარისად დიდი პპრაქტიკულად დამოუკიდებელი ფუნქცია F(x).შეუსაბამობის სწორედ ასეთი საზომები გამოიყენება მათემატიკურ სტატისტიკაში შეთანხმების კრიტერიუმად.

განვიხილოთ შეთანხმების ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული კრიტერიუმი - ე.წ ზე?"პირსონი.

დავუშვათ, რომ არსებობს ჰა დამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რომელთაგან თითოეულში არის შემთხვევითი ცვლადი Xმიიღო გარკვეული ღირებულება. ექსპერიმენტების შედეგები შეჯამებულია ქ კციფრები და წარმოდგენილია სტატისტიკური სერიის სახით.

თეორიული და ემპირიული სიხშირეები. ტესტი ნორმალური განაწილებისთვის

ვარიაციული განაწილების სერიების ანალიზისას დიდი მნიშვნელობა აქვს როგორ ემპირიული განაწილებანიშანი შეესაბამება ნორმალური. ამისთვის ფაქტობრივი განაწილების სიხშირეები უნდა შევადაროთ თეორიულს, რომელიც დამახასიათებელია ნორმალური განაწილებისთვის. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია ნორმალური განაწილების მრუდის თეორიული სიხშირეების გამოთვლა, რომლებიც ნორმალიზებული გადახრების ფუნქციაა, რეალური მონაცემებიდან.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ემპირიული განაწილების მრუდი უნდა შეესაბამებოდეს ნორმალურ განაწილების მრუდს.

შესაბამისობის ობიექტური მახასიათებელი თეორიულიდა ემპირიული სიხშირეებიშეიძლება მიღებულ იქნას სპეციალური სტატისტიკური მაჩვენებლების გამოყენებით, რომლებიც ე.წ თანხმობის კრიტერიუმები.

შესაბამისობის კრიტერიუმიეწოდება კრიტერიუმს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ არის თუ არა შეუსაბამობა ემპირიულიდა თეორიულიგანაწილება შემთხვევითი ან მნიშვნელოვანი, ანუ შეესაბამება თუ არა დაკვირვების მონაცემები წარმოდგენილ სტატისტიკურ ჰიპოთეზას, თუ არ შეესაბამება. ზოგადი პოპულაციის განაწილებას, რომელიც მას აქვს წამოყენებული ჰიპოთეზის საფუძველზე, თეორიული ეწოდება.

დამკვიდრების აუცილებლობაა კრიტერიუმი(წესი), რომელიც საშუალებას მისცემს განვსაჯოთ, არის თუ არა შეუსაბამობა ემპირიულ და თეორიულ განაწილებებს შორის შემთხვევითი თუ მნიშვნელოვანი. თუ შეუსაბამობა არის შემთხვევითი, მაშინ მიაჩნიათ, რომ დაკვირვების მონაცემები (ნიმუში) შეესაბამება ზოგადი პოპულაციის განაწილების კანონის შესახებ წამოყენებულ ჰიპოთეზას და, შესაბამისად, ჰიპოთეზა მიღებულია; თუ შეუსაბამობა არის აზრიანი, მაშინ დაკვირვების მონაცემები არ ეთანხმება ჰიპოთეზას და უარყოფს მას.

ჩვეულებრივ, ემპირიული და თეორიული სიხშირეები განსხვავდება იმის გამო, რომ:

შეუსაბამობა არის შემთხვევითი და დაკავშირებულია დაკვირვებების შეზღუდულ რაოდენობასთან;

შეუსაბამობა შემთხვევითი არ არის და აიხსნება იმით, რომ სტატისტიკური ჰიპოთეზა იმის შესახებ, რომ საერთო პოპულაცია ნორმალურად არის განაწილებული, მცდარია.

Ამგვარად, თანხმობის კრიტერიუმებინება მიეცით უარყოთ ან დაადასტუროთ ჰიპოთეზის სისწორე ემპირიულ სერიაში განაწილების ბუნების შესახებ სერიის ნიველირებისას.

ემპირიული სიხშირეებიმიღებული დაკვირვებით. თეორიული სიხშირეებიგამოითვლება ფორმულებით.

ამისთვის ნორმალური განაწილების კანონიისინი შეიძლება მოიძებნოს ასე:

Σƒ i- დაგროვილი (კუმულაციური) ემპირიული სიხშირეების ჯამი

h - განსხვავება ორ მიმდებარე ვარიანტს შორის

σ - ნიმუშის სტანდარტული გადახრა

t-ნორმალიზებული (სტანდარტიზებული) გადახრა

φ(t) არის ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია (იპოვეთ ადგილობრივი ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილიდან t-ის შესაბამისი მნიშვნელობისთვის)

არსებობს რამდენიმე სიკეთის ტესტი, რომელთაგან ყველაზე გავრცელებულია: ხი-კვადრატის (პირსონის) ტესტი, კოლმოგოროვის ტესტი, რომანოვსკის ტესტი.

პირსონის სიკეთე-of-fit ტესტი χ 2 - ერთ-ერთი მთავარი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს თეორიულ (f Т) და ემპირიულ (f) სიხშირეებს შორის თეორიულ სიხშირეებთან კვადრატული სხვაობების შეფარდების ჯამად:

k არის ჯგუფების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ემპირიული განაწილება,

f i არის ნიშნის დაკვირვებული სიხშირე i-ე ჯგუფში,

f T არის თეორიული სიხშირე.

განაწილებისთვის შედგენილია χ 2 ცხრილი, რომელიც მიუთითებს შესაფერის კრიტერიუმის χ 2 კრიტიკულ მნიშვნელობას α მნიშვნელოვნების არჩეული დონისთვის და თავისუფლების ხარისხების df (ან ν). მნიშვნელოვნების დონე α არის წამოყენებული ჰიპოთეზის არასწორად უარყოფის ალბათობა, ე.ი. სწორი ჰიპოთეზის უარყოფის ალბათობა. R - სტატისტიკური ვალიდობასწორი ჰიპოთეზის მიღება. სტატისტიკაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება მნიშვნელობის სამი დონე:

α=0.10, შემდეგ P=0.90 (100-დან 10 შემთხვევაში)

α=0.05, შემდეგ Р=0.95 (100-დან 5 შემთხვევაში)

α=0.01, შემდეგ P=0.99 (100-დან 1 შემთხვევაში) სწორი ჰიპოთეზის უარყოფა შეიძლება.

თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა df განისაზღვრება, როგორც ჯგუფების რაოდენობა განაწილების სერიებში მინუს ობლიგაციების რაოდენობა: df = k –z. კავშირების რაოდენობა გაგებულია, როგორც თეორიული სიხშირეების გაანგარიშებისას გამოყენებული ემპირიული სერიების ინდიკატორების რაოდენობა, ე.ი. ემპირიული და თეორიული სიხშირეების დამაკავშირებელი ინდიკატორები. მაგალითად, ზარის მრუდის გასწორებაში არის სამი ურთიერთობა. ამიტომ გასწორებისას ზარის მრუდითავისუფლების გრადუსების რაოდენობა განისაზღვრება როგორც df =k–3. მატერიალურობის შესაფასებლად გამოთვლილი მნიშვნელობა შედარებულია ცხრილის χ 2 ცხრილთან

თეორიული და ემპირიული განაწილების სრული დამთხვევით χ 2 =0, წინააღმდეგ შემთხვევაში χ 2 >0. თუ χ 2 calc > χ 2 ჩანართი, მაშინ მნიშვნელოვნების მოცემული დონისთვის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობისთვის, ჩვენ უარვყოფთ შეუსაბამობების უმნიშვნელოობის (შემთხვევითობის) ჰიპოთეზას. თუ χ 2 გამოთ< χ 2 табл то гипотезу принимаем и с вероятностью Р=(1-α) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. Следовательно, есть основания утверждать, что эмпирическое распределение подчиняетсяნორმალური დისტრიბუცია. Pearson-ის სიკეთე-of-fit ტესტი გამოიყენება, თუ პოპულაციის ზომა საკმარისად დიდია (N>50), ხოლო თითოეული ჯგუფის სიხშირე უნდა იყოს მინიმუმ 5.

კოლმოგოროვის სიკეთის კრიტერიუმიემყარება მაქსიმალური შეუსაბამობის დადგენას დაგროვილ ემპირიულ და თეორიულ სიხშირეებს შორის:

სადაც D და d, შესაბამისად, მაქსიმალური სხვაობაა ემპირიული და თეორიული განაწილების კუმულატიურ სიხშირეებსა და კუმულატიურ სიხშირეებს შორის. კოლმოგოროვის სტატისტიკის განაწილების ცხრილის მიხედვით დგინდება ალბათობა, რომელიც შეიძლება იცვლებოდეს 0-დან 1-მდე. P(λ)=1-ზე არის სიხშირეების სრული დამთხვევა, P(λ)=0 - სრული დივერგენცია. თუ ალბათობის მნიშვნელობა P მნიშვნელოვანია ნაპოვნი λ მნიშვნელობასთან მიმართებაში, მაშინ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ თეორიულ და ემპირიულ განაწილებებს შორის შეუსაბამობები უმნიშვნელოა, ანუ ისინი შემთხვევითი ხასიათისაა. კოლმოგოროვის კრიტერიუმის გამოყენების მთავარი პირობაა დაკვირვებების საკმარისად დიდი რაოდენობა.

კოლმოგოროვის სიკეთის კრიტერიუმი

განვიხილოთ, როგორ გამოიყენება კოლმოგოროვის კრიტერიუმი (λ), როდესაც ნორმალური განაწილების ჰიპოთეზის ტესტირებასაერთო მოსახლეობა. ფაქტობრივი განაწილების გასწორება ნორმალური განაწილების მრუდის გასწვრივ შედგება რამდენიმე ეტაპისგან:

შეადარეთ ფაქტობრივი და თეორიული სიხშირეები.

ფაქტობრივი მონაცემებით განისაზღვრება ნორმალური განაწილების მრუდის თეორიული სიხშირეები, რაც ნორმალიზებული გადახრის ფუნქციაა.

შეამოწმეთ რამდენად შეესაბამება ფუნქციის განაწილება ნორმალურს.

ცხრილის IV სვეტისთვის:

MS Excel-ში ნორმალიზებული გადახრა (t) გამოითვლება NORMALIZE ფუნქციის გამოყენებით. აუცილებელია აირჩიოთ თავისუფალი უჯრედების დიაპაზონი ოფციების რაოდენობის მიხედვით (ელცხრილის რიგები). მონიშვნის მოხსნის გარეშე, გამოიძახეთ NORMALIZATION ფუნქცია. დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება, მიუთითეთ შემდეგი უჯრედები, რომლებიც შეიცავს, შესაბამისად, დაკვირვებულ მნიშვნელობებს (X i), საშუალო (X) და სტანდარტულ გადახრას Ϭ. ოპერაცია უნდა დასრულდეს ერთდროული Ctrl+Shift+Enter დაჭერით

ცხრილის V სვეტისთვის:

ნორმალური განაწილების φ(t) ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია ნაპოვნია ადგილობრივი ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილიდან ნორმალიზებული გადახრის შესაბამისი მნიშვნელობისთვის (t)

ცხრილის VI სვეტისთვის:

კოლმოგოროვის მორგების სიკეთის კრიტერიუმი (λ)განისაზღვრება მოდულის გაყოფით მაქსიმალური განსხვავებებიემპირიულ და თეორიულ კუმულაციურ სიხშირეებს შორის დაკვირვებების რაოდენობის კვადრატულ ფესვზე:

სპეციალური ალბათობის ცხრილის გამოყენებით მორგების სიკეთის კრიტერიუმისთვის λ, ჩვენ ვადგენთ, რომ მნიშვნელობა λ=0.59 შეესაბამება 0.88 ალბათობას (λ.

ემპირიული და თეორიული სიხშირეების განაწილება, თეორიული განაწილების ალბათობის სიმკვრივე

სიკეთის შესატყვისი ტესტების გამოყენებისას შესამოწმებლად არის თუ არა დაკვირვებული (ემპირიული) განაწილება თეორიულთან შესაბამისობაში, უნდა განვასხვავოთ მარტივი და რთული ჰიპოთეზების ტესტირება.

კოლმოგოროვი-სმირნოვის ნორმალურობის ტესტის ერთნიმუში ეფუძნება მაქსიმალური განსხვავებანიმუშის კუმულაციურ ემპირიულ განაწილებასა და ნაგულისხმევ (თეორიულ) კუმულაციურ განაწილებას შორის. თუ D კოლმოგოროვი-სმირნოვის სტატისტიკა მნიშვნელოვანია, მაშინ ჰიპოთეზა, რომ შესაბამისი განაწილება ნორმალურია, უარყოფილი უნდა იყოს.